第25讲 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第25讲 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理 1.向量的有关概念 (1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的． (2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量． 2.向量的加法 三角形法则 前提 已知非零向量a,b 作法 在平面内任取一点A,作=a,=b,再作向量 结论 向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b= 图形 记忆口诀:首尾相连连首尾 平行四边形法则 前提 已知不共线的两个向量a,b 作法 在平面内任取一点O,以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作▱OACB 结论 对角线就是a与b的和 图形 记忆口诀:公共起点对角线 3.向量的数乘 (1)定义:一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa. 长度:|λa|=|λ||a|. 方向:当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0,方向任意. (2)几何意义:λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长(|λ|>1)或缩短(|λ|<1)为原来的|λ|倍. (3)运算律:设λ,μ为实数,a,b为向量,则有 ①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb. 4.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数,恒有. 5.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa. 6.平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.任一向量都可以由同一个基底唯一表示. 7.常用结论 (1)在中，若为的中点，则； (2)若三点共线，，则. 考点一 利用图形关系进行向量加减、数乘运算 考点二 定理法解决向量共线问题 考点三 利用基底法解决平面向量基本定理问题 考点一：利用图形关系进行向量加减、数乘运算 例1．如图，向量，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可. 【详解】根据向量运算法则可得， 又， 所以， 故选：C. 例2．八卦是中国文化中的哲学概念，图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，给出下列结论： ①；    ②； ③；    ④. 其中正确的结论为（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，，①错误； 对于②，由正八边形性质知：，，设， ，为中点，， ，，， 又，，②正确； 对于③，， 由正八边形性质知：且，即， ，又， ，③正确； 对于④，，④正确. 故选：C. 考点二：定理法解决向量共线问题 例3．已知（不共线），则下列说法中正确的是（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【分析】利用向量共线的充要条件判定即可. 【详解】对于A项，若三点共线，则有，即，所以，显然不存在满足要求，故A错误； 对于B项，若三点共线，则有，即，所以，显然不存在满足要求，故B错误； 对于C项，若三点共线，则有，即，所以，显然不存在满足要求，故C错误； 对于D项，，所以和共线，又和有公共点，即三点共线，故D正确； 故选：D． 例4．在中，点是边上一点，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量共线定理设，，通过线性运算得，结合题目条件得到方程组，解出即可. 【详解】作出如图所示图形： 三点共线，故可设，， 则， ，，解得. 故选：D. 考点三：利用基底法解决平面向量基本定理问题 例5．在中，D为中点，连接，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】以为一组基底，利用平面向量的线性运算得到的表达式，进而得到，由此得解. 【详解】因为为边的中点，所以，， 因为，所以， 所以， 又，因此有，则. 故选：C 例6．如图，中，，CD与BE交于F，设，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量共线定理与线性运算，从两个不同的角度表示出，从而得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】， ， 同理： ， 因为平面向量基本