第04讲 平方根-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（北师大版）

第04讲 平方根 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 3.掌握平方根与算术平方根的有关运算 知识点 1 ：平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点3：平方根的性质 知识点4：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 考点一：平方根的概念和表示 例1．（2023八上·东方期末）实数9的平方根是（　　） A．3 B．±3 C． D．81 【变式1-1】（2023八上·平昌期末）实数4的平方根为（　　）. A．16 B．2 C．±2 D． 【变式1-2】（2022八上·莲湖月考）计算的平方根结果是（　　） A．±2 B．±4 C．2 D．4 【变式1-3】（2022八上·西安月考）已知，则的平方根是（　　） A． B． C． D． 考点二：平方根的性质 例2.（2022八上·电白期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a-9． （1）求a和m的值； （2）求关于x的方程的解． 【变式2-1】（2022八上·龙华期中）若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　） A．3 B． C．1 D． 【变式2-2】（2022春•仁怀市校级月考）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求： （1）m+n的值； （2）（m+n）2的平方根． 【变式2-3】（2021秋•河南月考）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣18． （1）求a的值； （2）求这个数m． 考点三：利用开平方解方程 例3.（2022秋•莲湖区校级月考）求下列各式中x的值． （1）9x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2＝36． 【变式3-1】（2022秋•江阴市校级月考）求下列各式中x的值： （1）x2﹣4＝0； （2）（x﹣1）2﹣9＝0． 【变式3-2】（2022秋•新城区期中）已知2x2﹣8＝0，求x的值． 考点四：算术平方根的概念 例4.（2022八上·顺义期末）4的算术平方根是（　　） A．2 B． C． D．16 【变式4-1】（2023八上·达州期末）已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为（　　） A．±2 B． C．2 D．4 【变式4-2】（2022八上·绵阳竞赛）的算术平方根是　 　. 考点五：算术平方根的非负性 例5.（2021八上·河源期末）若|3x﹣2y+1|+＝0，则xy的算术平方根是　 　． 【变式5-1】（2021秋•滨海县期末）已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3 【变式5-2】（2022春•绥江县期中）若（a﹣1）2+＝0，则（a﹣b）2022＝（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2022 考点六：算术平方根的应用 例6.（2022秋•南岗区校级期中）小李同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为2：3，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小于同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” （1）长方形纸片的长和宽是分别多少cm？ （2）你是否同意小于同学的说法？说明理由． 【变式6】（2022秋•市北区期中）某新建学校计划在一块面积为256m2的正方形空地上建一个面积为150m2的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划． 1．（2022•攀枝花）2的平方根是（　　） A．2 B．±2 C． D． 2．（2021•济南