上海交通大学附属中学2023届高三下学期5月卓越考3数学试题

交大附中2022学年第二学期高三年级数学卓越考3 2023.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1．设集合，则集合_________． 2．已知复数（其中i为虚数单位），则_________． 3．若一个球的表面积为，则这个球的体积为_________． 4．设，则在方向上投影的坐标为_________． 5．如图所示，是长方体，其中，，点是棱上一点，若异面直线与互相垂直，则_________． 6．若实数满足，则的最小值为_________． 7．若的二项展开式中，各项系数之和为64，则展开式中的常数项为_________． 8．设（其中实数为常数），若函数的值域为，且关于的不等式的解集是，则实数的值为_________． 9．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点．过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为_________． 10．袋中装有编号为1到5的5个球．先从袋中任取一个球，若该球不是1号球，则放回袋中；若是1号球，则不放回；然后再摸一次．则第二次摸到2号球的概率是_________． 11．已知实数满足，则的最大值为_________． 12．若存在直线，使之既是曲线的切线，又是曲线的切线，则实数的取值范围是_________． 二、选择题（本大题共有4题，13、14题满分4分，15、16题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 13．下列命题中正确的是（ ） A．若，则 C．若，则 B．若，则 D．若，则 14．某家庭有三个孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互独立的．记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩；则下列说法中正确的是（ ） A．事件与事件互斥但不对立 C．事件与事件相互独立 B．事件与事件互斥且对立 D．事件与事件相互独立 15．已知抛物线的焦点为，点是上互不相同的点，且存在实数，使得对任意，均有．有下列两个结论：（1）数列是等差数列；（2）存在正整数，使得是的等比中项；则（ ） A．（1）（2）均正确 B．（1）（2）均错误 C．（1）对（2）错 D．（1）错（2）对 16．如图所示，圆心为原点的单位圆的上半圆周上，有一动点．设，点是关于原点的对称点．分别联结，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）． 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2． （1）若圆雉的侧面积为，求圆锥的体积； （2）设是底面半径，且是线段的中点，如图．求直线与平面所成的角的大小． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）． 已知 （实数为常数）． （1）当时，求函数的定义域，判断奇偶性，并说明理由； （2）若不等式当时均成立，求实数的取值范围． 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分）． 某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示． 评分 款式 1分 2分 3分 4分 5分 基础版 基础版1 2 2 3 1 0 基础版2 4 4 5 3 1 豪华版 豪华版1 1 3 5 4 1 豪华版2 0 0 3 5 3 （1）求这四款车得分的平均数和第90百分位数； （2）约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 优秀 合计 （3）为进一步提升产品品质，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，设随机变量表示其中基础版1车主的人数，求的分布和期望． 附：；， 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）． 已知粗圆的左、右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于，且． （1）求椭圆的离心率； （2）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程； （3）设．过椭圆右