01 正余弦定理小阶段经典题讲解+训练（基础版）-2022-2023学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

记住基础知识，用基础知识做题，不犯低级错误。 练习 1. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,c=150,b=50,则△ABC的形状为 。 2. 设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos B+sin B=2,c=2,则△ABC的面积的取值范围为 3. 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,b=,B=,则△ABC的周长等于 4. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(b+c)∶(a+c)∶(a+b)=4∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于 5. 如图,在△ABC中,AB=,∠ABC=45°,∠ADB=120°,CD=3, 则AC的长是 　　　　.  6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且. (1)证明:2a=b+c; (2)若cos A=,a=2,求△ABC的面积. 参考答案： 1.等腰三角形或直角三角形 提示：三角形中，已知两边及一个边的对角，要想到正弦定理。注意是二个解。 2. 提示：由cos B+sin B=2的左端可以想到辅助角公式，于是，sin(B+)=1,∵B是三角形的内角，∴ ∴(只需求出a的取值范围) ∵ ∴ 锐角三角形ABC, ，∴ , ∴ , ∴ , ∴ 1, ∴ 3. 提示：根据已知条件得，，即，ac=2 又∵(已知一边及对角，为什么想到余弦定理而不是正弦定理。因为想求周长，同时已经得到一个关于a,c 的方程ac=2了，用余弦定理可以得到另一个关于a,c 的方程) 即， ∴ ∴ 4. 7;5:3 提示：由(b+c)∶(a+c)∶(a+b)=4∶5∶6得，b+c=4k,a+c=5k,a+b=6k, ∴ 2a=7k, 2b=5k, 2c=3k, sin A∶sin B∶sin C=a:b:c=7:5:3 5. 提示：根据已知条件我们知道， △ABD中,已知两角及一边(这个三角形可解) △ACD中,已知CD和∠CDA（如果能求出AD，用余弦定理即可求出AC）。 AD=2,AC= 6.(1)略；(2)6. 提示：(1)这个条件的等号左端是角右端是边，因此可以想到将角化为边或将边化为角。将角化为边会有些复杂，先试试把边化为角。 即， （不是b=sinB,a=sinA,是由正弦定理得，） 整理，sinB+sinBcosA+cosBsinA=2sinA ∴sinB+sin(A+B)=2sinA ∵A+B=π-C ∴ sin(A+B)=sin(π-C)=sinC ∴sinB+sinC=2sinA 再由正弦定理得，2a=b+c; (2)求面积显然要想到面积公式,(因此，需要求出bc，sinA可求) 已知条件，“cos A=,a=2”想求bc,所以用余弦定理， ……① 由(1)得，2a=b+c代入a=2，再两边同时平方， ∴代入①解得，bc=20 附1： 为什么要说“B是三角形的内角” 第2题，设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos B+sin B=2,c=2,则△ABC的面积的取值范围为 在这个题的解答过程中，得到“sin(B+)=1,”接下来表达中“B是三角形的内角”为什么不能省。 因为现在我们研究的角是转角，正弦函数是周期函数，所以，正弦值是1的角有无数个。 所以如果不说明“B是三角形的内角”，则B+，接下来的表达，∵B是三角形内角，∴B+，即，∵，∴k=0… 而说明“B是三角形的内角”，∴ 0<B<π,∴B+,在内正弦值为1的只有，∴B+ ∴B=. 这里很详细地解释了B=的理由。你当然可以这样详细地表达。 不过为了表达简捷，同时重要的知识点又不能丢失。 所以“B是三角形的内角，”就显得很重要了。 第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $