1.3 一元二次方程的根与系数的关系（课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件（苏科版）

第1章 · 一元二次方程 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 1 1．理解一元二次方程根与系数的关系，会用一元二次方程的根与系数的关系求两根之和与两根之积； 2．经历一元二次方程的根与系数的关系的探究过程，进一步加深对一元二次方程及其根的认识. 学习目标 复习回顾 一元二次方程的求根公式是什么？ 如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？ 当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有两个不相等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)，没有实数根. 复习检测 解下列方程： （5） x2－3x=0 （1） x2-3x+2=0; （2） x2+3x+2=0; （3） x2-5x+6=0; （4） x2-5x+6=0; ax²+bx+c=0 x²-3x+2=0 x²+3x+2=0 x²-5x+6=0 x²+5x+6=0 x²-3x=0 填表: x1 x2 x1+x2 x1x2 1 2 3 2 2 -2 -3 -1 6 3 5 2 -2 -3 -5 6 0 3 3 0 每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？ 实践与探索 ax²+bx+c=0 2x²-5x-3=0 2x²+x-1=0 3x²-7x+4=0 5x²-11x+2=0 填表: x1 x2 x1+x2 x1x2 3 -1 1 2 实践与探索 这些方程的两根的和、两根的积与系数有什么关系？说说你的发现. 实践与探索 两根的积与常数项相等 两根的和与一次项系数互为相反数. 新知探究 你能试着证明你刚才的发现吗？ 　　一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 （a≠0），当b2－4ac≥0时，它的两个根分别是x1、x2． ∵ ∴ x1+x2 = + 新知探究 ∴ x1x2 = . = = = 新知归纳 方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的两个根分别x1、x2， x1+x2 = x1x2 = 一元二次方程的根与系数用有如下关系： 一次项系数 二次项系数 常数项 注意符号 注意：满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0. 例题讲解 例1 不解方程，求下列方程两根的和与两根的积： （1） x2＋2x－5＝0; （2）2x2＋x＝1. 解：(1) 设方程x2＋2x－5＝0 的两根分别是x1、x2 . ∵a=1、b=2、c=－5， ∴x1＋x2==－2，x1x2==－5. (2) 把方程化成一般形式，得2x2＋x-1＝0 设它的两根分别是x1、x2 . ∵a=2、b=1、c=－1， ∴x1＋x2==－，x1x2==－. 新知归纳 在运用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般形式； ⑵在使用x1+x2= 时，注意“－ ”不要漏写. 新知巩固 1.求下列方程两根的和与两根的积： （1） x2－4x＋1＝0; （2）2x2－3x＝2； （4） 4x2＝1. （3）3x2＋2x＝0； 新知巩固 2.利用根与系数关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别为1，-4. 以x1，x2为两根的一元二次方程(二次项系数为1)为: x2－(x1+x2)x+ x1x2 ＝0; 小明在一本课外读物中读到如下一段文字：一元二次方程x2－ x ＝0的两根是2+和 2． 尝试与交流 你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？ 例题讲解 例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 由题意得 x1 · x2=-， ∴2x2=-即x2=-. ∵x1+x2=2+(-)=- ∴k=-7. ∴方程的另一个根是-，k=-7. 想一想：还有其他解法吗？ 例题讲解 例3 设x1，x2是一元二次方程2x2+3x-1＝0的两个根，求下列代数式的值： (1)+ (3)+ (2)+ (4) 归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 新知归纳 (1) += ★常见的求值: (2)+ =()2-2 (3) +== (6)= = (4))2= )2 -4 (5)))= +()+1 新知巩固 1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1,则 p=___ , q=____. 1 -2 2.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是____，m=_____. -3 3.设x1、x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: (1)x1+x2=____， (2)x1·x2=____，(3) + =____， (