1.4 用一元二次方程解决问题（第3课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

1.4　用一元二次方程解决问题（3） 第3课时 动态几何问题 学习目标 1．进一步认识方程在解决实际问题中的作用； 2．在解决问题的过程中提高应用数学的意识，提高抽象、概况、分析问题与解决问题的能力. 2 知识回顾 勾股定理的内容是什么？ 矩形、三角形的面积公式？ 问题情境 问题5 如图，海关缉私人员驾艇在C处发现在正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向正东方向航行．缉私艇随即以75km/h的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行多长时间？ 30km 60km/h 75km/h 4 问题情境 问题5 如图，海关缉私人员驾艇在C处发现在正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向正东方向航行．缉私艇随即以75km/h的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行多长时间？ 30km 60km/h 75km/h 如何设未知数？ 可以利用哪些图形性质找出相等关系？ 5 问题情境 问题5 如图，海关缉私人员驾艇在C处发现在正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向正东方向航行．缉私艇随即以75km/h的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行多长时间？ 30km 分析：设缉私艇从C处到B处需航行xh， 根据题意，可知△ABC是直角三角形，利用勾股定理可以列出方程． 则AB＝60xkm，BC＝75xkm． 60km/h 75km/h 6 问题情境 问题5 如图，海关缉私人员驾艇在C处发现在正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向正东方向航行．缉私艇随即以75km/h的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行多长时间？ 解：设缉私艇从C处到B处需航行xh，则AB＝60xkm，BC＝75xkm． 根据题意，得△ABC是直角三角形，AC=30km. 于是 (60x)2＋ 302 ＝(75x)2． 解这个方程，得 x1＝，x2＝－(不合题意，舍去)． 答：缉私艇从C处到B处需航行h. 7 问题情境 问题6 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？ 如何设未知数？ 这个问题中的相等关系是什么？ A B C D P Q 1cm/s 2cm/s 8 则AP=______，PB=___________，BQ=_______，QC=____________. 问题情境 问题6 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？ xcm (6－x)cm 2xcm (12－2x)cm 分析：设xs后△DPQ的面积等于28cm2. SRt△DAP=_____________________，SRt△PBQ=_____________________， SRt△QCD=_____________________. xcm2 (6－x)cm2 (12－2x)cm2 A B C D P Q 1cm/s 2cm/s 9 问题情境 问题6 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？ A B C D P Q 1cm/s 2cm/s 即x2－6x＋8＝0． 根据题意，得： 6×12 解:设xs后△DPQ的面积等于28cm2,则 △DAP 、△PBQ、△QCD 的面积分别为 解这个方程，得x1＝2，x2＝4． 答：2s或4s后△DPQ的面积等于28cm2 . 10 问题情境 变式 几秒后PQ⊥DQ 呢？ A B C D P Q 1cm/s 2cm/s 运用勾股定理的逆定理，证明DQ2+PQ2=PD2即可. 11 思维拓展 例《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远？ 解：设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又 ， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步. 12 新知归纳 动态几何问题： 1.分析动点的运行轨迹，用含未知数的代数式表示线段长度、图形面积等. 2.根据图形的相关性质找出能表示实际问题全部意义的相等关系，从而建立适当的方程解决问题. 3.对于求得的方程的解要能够根据实际意义进行检验. 选择符合实际意义的正确答案. 13 新知巩固 1.一个直角三角形的两条直角边的和为28cm，面积为96cm2．求这个直角三角形两条直角边及斜边的长. 解：设这个直角三角形的一条直角边长为xcm. 根据题意，得 . 解这个方程，得x1＝12，x2＝16． . 答：这个直角三角形的直角边长为12cm、16cm，斜边长为20cm. 新知巩固 2.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm.点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤3). 那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2? A B C D 6cm 3cm P Q （1）AQ=________cm， AP=________cm (用含t的代数式表示). (3-t) 2t （2）△QAP的面积=_________ (线段表示)； （3）根据△QAP的面积等于2cm2 列方程为=_________________. ， 新知巩固 3.如图，在矩形ABCD中，AB=7cm，BC=2cm. 点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动. 点P出发几秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍. A B C D P 解：设点P出发xs后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍. 根据题意，得 x2=4[(7－x)2＋(2)2] 1cm/s xs 解这个方程，得x1＝6，x2＝(舍去)． 答：点P出发6s后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍. 应用类型： 动态几何问题 关键：找出能表示实际问题全部意义的相等关系 课堂总结 求得的方程的解要能够根据实际意义进行检验. 当堂检测 基础过关 1．(23－24九年级上·河南周口)如图，在中，，，，点P，Q分别从A，B两点出发沿方向向终点C匀速运动，其速度均为．设运动时间为ts，则当的面积是的面积的一半时，t的值为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 B 18 2．(23－24九年级上·黑龙江齐齐哈尔)如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动) ( ) A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s 当堂检测 基础过关 D 19 当堂检测 基础过关 3．(2023·江苏无锡·中考真题)《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺． 8 20 当堂检测 基础过关 4．(2024·甘肃武威·二模)如图，、、、为矩形的个顶点，，，动点从点出发，沿方向运动，动点同时从点出发，沿方向运动，如果点、的运动速度均为，经过多长时间、两点之间的距离是？ 解：设运动秒时，它们相距，则， ， 依题意，得， 解得，． 故运动秒或秒时，它们相距． 21 当堂检测 基础过关 5．(22－23九年级上·海南省)如图，中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动． (1)经过后（），的面积等于，求t的值； 解：(1)∵（），（），， ∴， 当运动时间为时， ， ， 根据题意，得 ， 即， 整理，得 ， 解得 ，（不符合题意，舍去）， 答：t的值为1； 22 当堂检测 基础过关 5．(23－24九年级上·海南省)如图，中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动． (2)经过后，（），的长度为，求t的值； (2)根据题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去），. 答：t的值为2. 23 当堂检测 基础过关 (3)的面积能否等于？ (3) 的面积不能等于，理由如下： 假设的面积能等于， 根据题意，得 ， 即， 整理，得 ， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴假设不成立，即的面积不能等于． 24 当堂检测 综合提升 1．(23 － 24九年级上·山西阳泉)如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，𝑨𝑩=𝟏𝟎cm，𝑨𝑫=𝟒cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为．当时，t的值为 ( )   A． B． C． D． D 25 2．(23－24九年级上·云南昆明)如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是 ( ) A． B． C． D． 当堂检测 综合提升 C 26 当堂检测 综合提升 3．(2024·辽宁朝阳·一模)如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后________s时，的面积为菱形面积的？ 1或4 27 当堂检测 综合提升 4．(2023·山东青岛·二模)如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． 解：(1)根据题意，得AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝(6－2t)cm， ∵为等腰三角形，， ∴，即， 解得：， ∴当时，△PAQ为等腰三角形. (1)当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？ 28 当堂检测 综合提升 4．(2023·山东青岛·二模)如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． (2)当t为何值时，△APD的面积为6cm2？ (2)∵（cm2）， ∴， 解得：， ∴当时，的面积为6cm2. 29 当堂检测 综合提升 (3) 五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． (3) ∵ （cm2）， ∴ 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2. 30 当堂检测 综合提升 (4)在Rt△APQ中，， 根据题意得：， ∴化简后得：， 解得：，， ∵，， ∴， ∴（舍去）， ∴． (4)当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？ 31 2021 Blues 4800.0 $$