第13讲 对数函数-2023年暑假高一数学沪教版同步精品讲义（上海专用）

第十三讲 对数函数 【教学目标】 1. 理解对数函数的概念，会研究对数函数的性质，应用对数函数性质解决问题； 2. 能用描点法作出具体对数函数的图像，探索对数函数的性质； 3. 应用对数函数的图像，探索对数函数的单调性. 【应知应会】 【难度系数：★   参考时间：5 min】 一、复习引入 1. 若，则 ；若，则 . 2. 已知，化简 . 3. 若，，则 二、知识梳理 【难度系数：★★   参考时间：45 min】 （一）对数函数的定义 定义：当底数固定，且，时，以为底的对数 确定了变量随变量变化的规律，称为底为的对数函数. 因为只有当时，才有意义，所以对数函数的定义域是全体正数. （二）对数函数的图像 分别描绘指数函数，，，的大致图像. （三）对数函数的性质 由前面的几种对数函数的图像，结合对数的运算性质，我们可以得到如下的性质： 1. 对数函数的图像总是经过 2. 当时，对数函数在上严格增 当时，对数函数在上严格减 3. 对数函数及的图像关于轴对称 关于对数函数的图像与性质的总结见下表： 图像 图像特征 （1）图像都在轴右侧，无限趋近于轴，但永不相交 （2）过点 （3）由左至右图像上升 （3）由左至右图像下降 函数性质 （1）定义域为，值域为 （2）当时， （3）在上严格增 （3）在上严格减 （四）典型例题 例1. 求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 例2. 求列函数的定义域： （1）； （2）. 例3. 作出下列函数的大致图像： （1）； （2）； （3）； （4）. 例4. 利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小. （1）和； （2）和. （3）和，其中且； （4）和. 例5. 已知，若，判断与的大小，并说明理由. 例6. 设函数的定义域是，求实数的取值范围. 例7. 设函数的值域是，求实数的取值范围. 例8. “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度. 假设其函数表达式为，其中表示达到某一打字水平（字/分）所需的学习时间（分钟），表示每min打出的字数（字/分）. 分别计算打字水平达到20字/分、40字/分所需的学习时间. （精确到“分钟”） 例9. 设关于的方程的两个实根分别是. （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围. A组 双基过关 【难度系数：★★   参考时间：20 min】 1. 函数的定义域为 . 2. 已知. 若，则__________. 3. 与的大小关系为 . 4. 函数的定义域为 . 5. 若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 . 6. 若直线与函数，的交点的横坐标分别为、，__________. 7. 已知，则函数的值域是………………………………………（ ） A．； B．； C．； D．. 8. 当时，在同一直角坐标系中，函数与的大致图像是……………………（ ） 9. 如果，那么下列结论中，正确的是……………………………………………（ ） A．； B．； C．； D．. 10. 已知函数. （1）求此函数的定义域； （2）若函数值都大于等于，求实数x的取值范围. B组 巩固提高 【难度系数：★★★   参考时间：25min】 1. 若，则x的取值范围为 . 2. 若，，则函数的图像恒过定点 . 3. 若集合，，则 . 4. 若函数在R上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 5. 已知函数和的图像如图所示，则不等式的解集是…………（ ） A. B. C. D. 6. 方程的根为……………………………………………………………………（ ） A. 1 B. C. 0 D. 0，1或 7. 已知函数的定义域为R，求实数k的取值范围. 8. 设，求函数的最大值. C组 拓展延伸 【难度系数：★★★★    参考时间：30 min】 1. 若函数的值域为R，则实数m的取值范围是 . 2. 若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则 . 3. 使成立的x的取值范围是 .