第12讲 指数函数-2023年暑假高一数学沪教版同步精品讲义（上海专用）

第十二讲 指数函数 【教学目标】 1. 理解指数函数的概念，研究指数函数的基本性质； 2. 能用描点法作出具体指数函数的图像，探索指数函数图像的分布规律. 一、应知应会 【难度系数：★   参考时间：10 min】 一、复习引入 1. 幂函数的图像经过点，此幂函数的解析式是 . 2. 比较下列各题中两个数的大小 （1）与 （2）与 3. 下列幂函数在区间内严格递增，且图像关于原点中心对称的是___________. （1）（2）（3）（4） 4. 一张纸对折一次，由1层变为2层，再对折一次由2层变为4层，……对折次后，层数与折叠次数的函数关系式是怎样的？ 二、知识梳理 【难度系数：★★   参考时间：15 min】 （一）指数函数的定义 对于函数来说，首先要假设，以保证对所有实数，都有意义. 还要假设，因为如果，就恒等于1，这种极为特殊的情况我们不必专门研究. 定义：当底数固定，且，时，等式 确定了变量随变量变化的规律，称为底为的指数函数（exponential function）. 因为对所有实数，都是有意义的，所以指数函数的定义域是全体实数. （二）指数函数的图像 分别描绘指数函数，，，的大致图像. （三）指数函数的性质 由前面的几种指数函数的图像，结合幂的运算性质，我们可以得到如下的性质： 1. 指数函数的函数值恒大于 2. 指数函数的图像恒经过定点 3. 当时，指数函数在上严格增 当时，指数函数在上严格减 4. 指数函数及的图像关于轴对称 关于指数函数的图像与性质的总结见下表： 图像 图像特征 （1）图像都在轴上方，无限趋近于轴，但永不相交 （2）过点 （3）由左至右图像上升 （3）由左至右图像下降 函数性质 （1）定义域为，值域为 （2）当时， （3）在上严格增 （3）在上严格减 三、典型例题 【难度系数：★★★   参考时间：20 min】 例1. 在下列函数中，是指数函数的有___________. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 例2. 函数是指数函数，则=___________. 例3. 指数函数①，②满足不等式，则它们的图象是…………( ) 例4. 若函数的图像在第一、三、四象限内，则………………………………( ) A. B. C. 且 D. 例5. 比较下列各组数的大小: （1）和； （2）和； （3） 和； （4） 和； （5）和； （6）和. 例6. 已知函数，其中. （1）求，并计算的值； （2）作出该函数的图像，并求函数的值域. A组 双基过关 【难度系数：★★   参考时间：20 min】 1. 函数的值域为__________. 2. 若且，则函数的图像经过的定点坐标为__________. 3. 函数关于轴对称的函数为 . 4. 若，则和的大小关系为 . 5. 已知指数函数（）在区间上的最大值比最小值大，则实数的值为 . 6. 若某地现有绿地100 km2，计划每年按10 %的速度扩大绿地，则三年后该地的绿地为________km2. 7. 若函数，当时函数值，则的取值范围是………………………（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（，且）. （1）求该函数的图像恒过的定点坐标； （2）指出该函数的单调性（不必证明）. B组 巩固提高 【难度系数：★★★   参考时间：25 min】 1. 若函数在上是严格减函数，则的取值范围是 . 2. 若函数在区间上的最大值比最小值大，则实数的值是 . 3. 方程的实根的个数为________. 4. 若函数的图像关于原点成中心对称，则实数的值为________. 5. 若定义运算，则函数的函数值的取值范围为________. 6. 函数的图像……………………………………………………………………………（ ） A. 关于原点成中心对称 B. 关于y轴对称 C. 既关于原点成中心对称又关于y轴对称 D. 既不关于原点成中心对称也不关于y轴对称 7. 若，函数的值恒大于1，则实数的取值范围为……………………………（ ） A. B. C. D. 8. 判断函数，的单调性，并求出它的值域. C组 拓展延伸 【难度系数：★★★★    参考时间：25 min】 1. 若函数（是常数），当时，