重难点04 指数函数的性质与运用及其拓展运用（8种题型）高一数学沪教版2020必修第一册

重难点04 指数函数的性质与运用及其拓展运用 题型01 指数函数的单调性 1.指数函数标准形式为），先明确底数的取值范围，再确定定义域（恒为，若为指定区间则聚焦该区间）。核心分析底数：分两类，这是判断单调性的关键依据，同时标注定义域范围。 2.依据底数分类判定：①时，函数在定义域递增；②上也递减。用区间表示单调区间，标注增减性，若有参数则结合底数条件确定参数范围。 1．(25-26高一上·湖南邵阳第二中学等多校联考·期中)已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔龙西北高中名校联盟·)已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．(25-26高三上·湖北荆州中学·月考)是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知命题 ，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．(24-25高三下·河北·)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．(24-25高三下·广东广州白云区·)已知p：，q：，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·月考)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02 由指数（型）的单调性求参数 1.分两类：①指数函数，递减则；②指数型复合函数，外层且复合递增，则必递增）。 2.解第一步的不等式（如指数函数递增解，复合函数内层递增解参数范围），得候选值。验证：指数函数确保；复合函数需确认内层定义域有效、外层底数合规，代入原函数检验单调性是否匹配，最终确定参数范围。 9．若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．(25-26高一上·福建泉州第五中学·期中)已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．(25-26高一上·广东广州执信中学·期中)函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．(25-26高一上·江苏启东中学·期中)已知函数在上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．(25-26高三上·福建百校联考·)已知函数，则“”是“在区间上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．(25-26高三上·河北雄安新区·期中)已知，且，函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A．（0，1） B． C． D． 15．若函数且是上的减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型03 由指数函数的单调性解不等式 1.设不等式对应的指数函数为），先判断单调性：上递增；时在上递减。同时明确不等式中自变量的取值范围，确保满足函数定义域（指数函数定义域为，重点关注不等式自身限制）。 2.根据单调性转化不等式：。解转化后的整式或分式不等式，结合第一步确定的定义域剔除无效解。代入边界值验证，最终用集合或区间表示解集。 17．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 18．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 21．设函数，则使的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·)设是定义在R上的偶函数，当时，．若对任意，均有，则（    ） A． B． C． D． 23．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．全不对 24．(24-25高二上·浙江温州十校联合体·期中)设函数的定义域为，且，当时，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型04 由指数函数的单调性比较大小 1.设待比较的两个值先统一底数，不同底数可借中间值过渡），判断指数函数且在函数定义域内（指数函数定义域为，无需额外限制）。 2.根据单调性转化：。不同底数时（如），选中间值（如1、）分步比较。代入特殊值验证（如），确保比较结果准确。 25．(25-26高一上·江苏启东中学·期中)记，则中最小的数为（    ） A． B． C． D． 26．(25-26高一上·黑龙江龙东十校联盟·期中)设，则（　　） A． B． C． D． 27．(24-25高一上·湖北部分恩施高中、襄阳五中、郧阳中学等学校·)若，其中m，n均为实数，则（   ） A． B． C． D． 28．(24-25高三下·四川·)已知正实数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 29．设实数，满足，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 30．设，，，则（    ） A． B． C． D． 31．已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 32．(25-26高一上·广东广州第六十五中学·期中)已知，，，则的大小关系是 题型05 指数型复合函数的单调性 1.设指数型复合函数为。先求定义域，再分析：①外层单调性：递减；②内层单调性：通过导数或基本性质判断的增减区间，明确分层单调特征。 2.按“同增异减”法则判定：外层与内层单调性相同（都增或都减），复合函数递增；相反则递减。结合定义域及内层的取值范围，对应内层单调区间确定复合函数的单调区间。标注增减性，验证边界连续性，确保区间准确。 33．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 34．(24-25高一上·海南海南中学·月考)函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 35．函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 36．已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 37．(24-25高一上·浙江绍兴·期末)已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 38．(20-21高一上·河南登封第一高级中学·)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 39．(23-24高一上·广东佛山H7教育共同体·)函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 40．(23-24高一上·广东江门台山第一中学·期中)函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 题型06 根据指数函数的值域或最值求参数 1.设含参指数函数为和值域/最值。先判单调性：时递减；复合函数需结合内层单调性用“同增异减”。将值域/最值转化为关于参数的指数方程或不等式。 2.解约束条件：如；含最值时对应端点函数值。若为复合函数，需同步解内层，代入原函数检查值域/最值是否匹配，剔除无效解得参数范围。 41．(25-26高一上·广东仲元中学·期中)已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 42．(25-26高三·上海七宝中学·)已知函数，对任意，以为边长均可构成三角形，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．(25-26高三上·安徽五校联考·)已知函数的最大值为2025，则的值为（   ） A． B．-1 C．1 D．或-1 44．若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 45．(24-25高一上·山东泰安第一中学·期中)已知函数（且），若有最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 46．(23-24高一上·云南师范大学附属中学和文山州·期末)已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 47．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 48．(18-19高一上·江西上饶中学·期中)函数 在区间上的最大值比最小值大，则实数的值为 A． B． C． D． 题型07 指数函数单调性与奇偶性综合运用 1.先求定义域判奇偶性：定义域对称时，用（偶）或（奇）判断。再判单调性：递减，标注单调区间。 2.比较大小：奇函数化异号为同号，偶函数用，再按单调性比较。解不等式：借奇偶性转化为对称区间，结合单调性去“”。求最值：奇函数对称区间最值相反，偶函数相同。代入定义域验证，确保转化合理、结果准确。 49．对于函数，若在定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”．若存在实数使得是定义在上的伪偶函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 50．(23-24高一上·黑龙江大庆实验中学实验一部·期中)已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 51．(22-23高一上·江苏宿迁·期末)已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．(22-23高一上·江苏泰州·期末)已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 53．(22-23高一上·重庆南开中学校·月考)已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 54．(22-23高三上·甘肃张掖某重点校·)任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 55．(21-22高三上·江苏淮安淮阴中学·月考)设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 56．(23-24高二上·贵州六盘水·期中)已知定义在上的奇函数为单调递增函数，若恒成立，则t的取值范围是 ． 题型08 指数函数模型及应用 1.根据增长/衰减情境（如复利、人口增长），设模型为（衰减），为时间。或用（连续变化）。结合已知条件（如初始值、某时刻值）列方程，求解参数），确定模型解析式。 2.根据问题需求代入数值计算（如求某时间的量、达某量的时间），用指数运算或对数转化求解。验证：检查结果是否符合实际情境（如量为正、率合理），对比已知数据检验模型准确性。若为预测问题，标注取值范围，确保答案具实际意义。 57．(23-24高一上·吉林白山抚松县第一中学·月考)在某个时期，某湖泊的蓝藻每天以5%的增长率呈指数增长，则经过2天后，该湖泊的蓝藻变为原来的（    ） A．1.1倍 B．1.25倍 C．1.1025倍 D．1.0025倍 58．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)山西汾酒储存时间越长价值越高，一瓶原价2000元的汾酒，储存年（）后的价值（元）满足函数（为常数），已知储存4年的此种汾酒价值为2400元，则此种汾酒储存8年的价值为（    ） A．2980元 B．2880元 C．2680元 D．2480元 59．(25-26高一上·福建厦门第一中学·期中)厦门一中即将迎来120周年校庆，在一百二十年的历史中，培养出的优秀学子在祖国的各行各业发光发热，其中就包括多名优秀的飞行员．飞行员是一项对身体要求很高的职业，已知大气压强（单位：）和海拔高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知海拔高度处的大气压强是，则当飞机飞行在海拔高度、飞机飞行在海拔高度时，飞机所受的大气压强约是B飞机所受的大气压强的（    ） A．0.67倍 B．0.92倍 C．1.09倍 D．1.5倍 60．(25-26高一上·广西玉林八校·调研)遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天9：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（   ） 参考数据：． A．8：30 B．8：00 C．7：30 D．7：00 61．(25-26高一上·安徽华师联盟·期中)某培养皿中微生物的含量与时间（单位：小时）的关系满足函数，且第3小时时其含量为10，第7小时时其含量为40，若第小时时其含量为80，则（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 62．(25-26高一上·江苏南京七校联合体·期中)牛顿冷却定律（Newton’s law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降至，那么大约再经过（    ）分钟，温度降至. A． B． C． D． 63．(25-26高三上·福建龙岩一级校联盟·期中)随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（    ）（参考数据：，） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 64．(25-26高一上·河南部分普通高中·期中)已知某视频第（为1到20内的整数）天的播放量可以用表示，其中为正实数，则该视频第8天的播放量是第3天播放量的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点04 指数函数的性质与运用及其拓展运用 题型01 指数函数的单调性 1.指数函数标准形式为），先明确底数的取值范围，再确定定义域（恒为，若为指定区间则聚焦该区间）。核心分析底数：分两类，这是判断单调性的关键依据，同时标注定义域范围。 2.依据底数分类判定：①时，函数在定义域递增；②上也递减。用区间表示单调区间，标注增减性，若有参数则结合底数条件确定参数范围。 1．(25-26高一上·湖南邵阳第二中学等多校联考·期中)已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由指数函数的单调性可判断充分性，举反例可判断必要性. 【详解】由指数函数的性质，当“”可以推出“”，故充分性成立； 取，，则，但，所以必要性不成立， 综上，，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．(25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔龙西北高中名校联盟·)已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性判断即可. 【详解】由在上单调递增，得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3．(25-26高三上·湖北荆州中学·月考)是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性判断即得. 【详解】由指数函数的单调性可得：， 由可得，而由不能推出，如，但没有意义， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4．设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和指数函数的单调性化简甲乙两个命题，即可结合充分和必要条件的定义求解. 【详解】由可得，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由也推不出，即必要性不成立. 所以甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选:D. 5．已知命题 ，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性可判断得出结论. 【详解】根据题意由指数函数的单调性可知能推出， 即充分性成立； 由可推出，不能推出，即必要性不成立； 因此命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 6．(24-25高三下·河北·)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由指数函数单调性可判断必要性，由特殊值可判断充分性. 【详解】由可得，又由，可得， 又由不一定可得， 反例：当时，成立，但， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 7．(24-25高三下·广东广州白云区·)已知p：，q：，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先分别求解出命题和命题中不等式的解集，再根据充分条件和必要条件的定义判断是的什么条件. 【详解】对于，解得，即命题对应的集合. 对于，解得或，即命题对应的集合或. 充分性：若，即，那么一定有，因为集合中的元素都满足集合的条件，所以由可以推出，充分性成立. 必要性：若，即或，当时，不满足，所以由不可以推出，必要性不成立.   因为能推出，但不能推出，所以是的充分不必要条件， 故选：A. 8．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·月考)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用函数在上单调递增，可得结论. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，结合为增函数，可得， 由，结合为增函数，可得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 题型02 由指数（型）的单调性求参数 1.分两类：①指数函数，递减则；②指数型复合函数，外层且复合递增，则必递增）。 2.解第一步的不等式（如指数函数递增解，复合函数内层递增解参数范围），得候选值。验证：指数函数确保；复合函数需确认内层定义域有效、外层底数合规，代入原函数检验单调性是否匹配，最终确定参数范围。 9．若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围． 【详解】设，则在上单调递增. 因为在区间内单调递减， 所以函数在区间内单调递减， 结合二次函数的图象和性质，可得，解得． 故选：A． 10．(25-26高一上·福建泉州第五中学·期中)已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求解内层函数的单调性，再讨论外层函数的单调性和定义域，即可求解参数的取值范围． 【详解】函数在上递减，在上递增 当时，函数在上递增，所以函数在上递减，在上递增， 又，则函数在区间上递增，故满足题意； 当时，函数在上递减，所以函数在上递增，在上递减， 又，若要满足题意，则，得. 综上，的取值范围是． 故选：C． 11．(25-26高一上·广东广州执信中学·期中)函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，根据复合函数单调性的判断方法，可得所以在上单调递减.根据二次函数的单调性判断方法，可求得的取值范围. 【详解】令， 则在上单调递减，在上单调递增. 因为是增函数，且函数在上单调递减，所以在上单调递减. 所以，所以. 所以的取值范围是. 故选：B. 12．(25-26高一上·江苏启东中学·期中)已知函数在上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助复合函数的性质，结合指数函数和二次函数的单调性来的取值范围. 【详解】函数是一个复合函数，外层函数：是减函数， 根据复合函数的单调性可知，函数在上是增函数， 内层函数：在上必须是减函数， 是二次函数，开口向上，函数的对称轴， ，解得. 故选：. 13．(25-26高三上·福建百校联考·)已知函数，则“”是“在区间上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据复合函数的单调性，利用指数函数和二次函数的性质求解. 【详解】因为在区间上单调递减，则根据复合函数的单调性， 当且仅当函数在上单调递减， 所以，所以. 故选：C. 14．(25-26高三上·河北雄安新区·期中)已知，且，函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】若分段函数在上单调递减，则 故的取值范围为. 故选：B. 15．若函数且是上的减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数单调性，结合指数函数单调性列式求解. 【详解】由函数且是上的减函数，得， 解得，所以实数的取值范围为. 故选：B 16．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数单调性、二次函数单调性列式求解. 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 题型03 由指数函数的单调性解不等式 1.设不等式对应的指数函数为），先判断单调性：上递增；时在上递减。同时明确不等式中自变量的取值范围，确保满足函数定义域（指数函数定义域为，重点关注不等式自身限制）。 2.根据单调性转化不等式：。解转化后的整式或分式不等式，结合第一步确定的定义域剔除无效解。代入边界值验证，最终用集合或区间表示解集。 17．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】， 则， 故选：D 18．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的图象和性质求解即可． 【详解】由题知，令，解得． 作出函数和的大致图象，如图，    由图可知，若，则． 故选：A. 19．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【详解】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 20．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，结合指数函数单调性分类讨论即可求解不等式的解集. 【详解】作出的图象如图所示. 当时，，， 所以，， 所以，符合题意； 当时，，， 所以，， 所以，符合题意； 当时，，， ， 令得，解得. 综上，不等式的解集为. 故选：C. 21．设函数，则使的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，等价于，再分情况讨论解不等式即可. 【详解】，又函数为增函数， 所以， 当时，无解， 当时，，所以， 当时，恒成立，所以， 综上，的取值范围是. 故选：D. 22．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·)设是定义在R上的偶函数，当时，．若对任意，均有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数的性质可得函数的解析式，利用分类讨论思想，根据分段函数的取值，化简不等式，可得答案. 【详解】由函数是偶函数，则， 当时，，可得， 所以， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，由，则，由，则， 由函数在上单调递增，则不等式显然不成立； 当，即时，由，则， 由，则，由函数在上单调递减，则不等式显然成立； 当，即时， ①当时，，由，则， 由，则，由函数在上单调递减，则不等式显然成立； ②当且时，由，则， 由，则，由函数在上单调递增，则， 化简可得，解得； 当且时，由，则， 由，则，由函数在上单调递增，则不等式显然不成立. 综上所述，. 故选：D. 23．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．全不对 【答案】B 【分析】应用指数函数的单调性计算求解. 【详解】函数在上为减函数， 因为，所以， 即恒成立，． 故选：B. 24．(24-25高二上·浙江温州十校联合体·期中)设函数的定义域为，且，当时，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析出函数的解析式，确定函数与交点所在区间，求出不等式的解，再由图象得出定义域上的解即可. 【详解】设，则，所以， 因为，所以， 设时，与相交， 则，即，解得， 所以，即在定义域上，只有当时，函数与相交， 当时，由，解得，如图， 结合图象可知，的取值范围是， 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据所给函数的性质及在上的解析式，得出函数在定义域上的解析式，确定与直线相交交点所在区间，利用数形结合得解. 题型04 由指数函数的单调性比较大小 1.设待比较的两个值先统一底数，不同底数可借中间值过渡），判断指数函数且在函数定义域内（指数函数定义域为，无需额外限制）。 2.根据单调性转化：。不同底数时（如），选中间值（如1、）分步比较。代入特殊值验证（如），确保比较结果准确。 25．(25-26高一上·江苏启东中学·期中)记，则中最小的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质即可得 【详解】令由指数函数的性质可得均是单调递减函数， 因为，所以，，即， 又因为函数，函数在上单调递增， 所以，故， 又因为函数，函数在上单调递增， 所以，故， 所以最小. 故选：C 26．(25-26高一上·黑龙江龙东十校联盟·期中)设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性求得正确答案. 【详解】， 又，由指数函数在上单调递减， 幂函数在上单调递增， 可得， 所以．故选D． 27．(24-25高一上·湖北部分恩施高中、襄阳五中、郧阳中学等学校·)若，其中m，n均为实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，可得函数为增函数，借助单调性即可得出结果. 【详解】由变形，可得：， 设函数， 因为指数函数在上是增函数，在上是减函数， 所以在上是增函数， 所以在上是增函数. 由可得，即. 故选：C 28．(24-25高三下·四川·)已知正实数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形为，可判断，继而变形为，推出，即可求解. 【详解】因为，故，即， 因为，所以； 又，结合，可得， 而， 即得，即，则必有， 则，即选项A中不等式成立， 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于将变形为，继而变形为，即可求解. 29．设实数，满足，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】先假设，再推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解. 【详解】假设，则，， 由得， 因函数在上单调递减，又，则，所以； 由得， 因函数在上单调递减，又，则，所以； 即有与假设矛盾，所以， 故选：C 30．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数式的取值范围可得且，通过构造函数证明不成立，可得到正确选项. 【详解】因为，所以，所以，，所以，所以，若，则，设在上单调递增，所以，即，不合题意. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由，，构造函数，通过单调性证明若则存在矛盾. 31．已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质结合条件逐项分析即得. 【详解】因为，a、b、c是正实数， 所以， 因为，所以， 对于A，若，则，满足题意； 对于B，若，则，满足题意； 对于C，若，则，满足题意； 对于D，若，则，不满足题意. 故选：D. 32．(25-26高一上·广东广州第六十五中学·期中)已知，，，则的大小关系是 【答案】 【分析】利用幂函数和指数函数的单调性进行比较即可. 【详解】因为，化简得， 又，令，因为，所以幂函数在上单调递增， 又，所以，即； 又，，指数函数在上单调递减，且， 所以； 又，，指数函数在上单调递减，且， 所以； 综上所述，的大小关系是. 故答案为： 题型05 指数型复合函数的单调性 1.设指数型复合函数为。先求定义域，再分析：①外层单调性：递减；②内层单调性：通过导数或基本性质判断的增减区间，明确分层单调特征。 2.按“同增异减”法则判定：外层与内层单调性相同（都增或都减），复合函数递增；相反则递减。结合定义域及内层的取值范围，对应内层单调区间确定复合函数的单调区间。标注增减性，验证边界连续性，确保区间准确。 33．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定单调递增区间. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D 34．(24-25高一上·海南海南中学·月考)函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求得答案. 【详解】设，令，则或， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 易知函数在定义域上的单调递增， 故要求函数的单调递增区间， 即求在上的单调递增区间， 而在区间上单调递增，在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故函数的单调递增区间是. 故选：B 35．函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由对勾函数及复合函数的单调性进行求解. 【详解】令, 则，由对勾函数的单调性知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，由得， 所以由复合函数的单调性知，函数的单增区间为， 故选：A 36．已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件求出，再利用复合函数单调性求出递增区间. 【详解】由，得，解得，函数定义域为R， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在R上单调递增，所以函数的单调递增区间为. 故选：D 37．(24-25高一上·浙江绍兴·期末)已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【答案】B 【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可. 【详解】令， 则视为由和构成的复合函数， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 而，故，故B正确. 故选：B 38．(20-21高一上·河南登封第一高级中学·)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用复合函数单调性“同增异减”规则来解题即可. 【详解】设，根据二次函数的单调性可知， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，根据“同增异减”可得， 函数的单调递减区间是. 故选：A. 39．(23-24高一上·广东佛山H7教育共同体·)函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数型复合函数的单调性求解. 【详解】令在单调递减，单调递增，又函数单调递减， 所以函数在单调递增，单调递减. 故选：A. 40．(23-24高一上·广东江门台山第一中学·期中)函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数为，设，根据为增函数，结合复合函数的单调性的判断方法，可得求函数的单调递增区间，即可得答案. 【详解】，设,则为增函数， 求函数的单调递增区间，等价为求函数的单调递增区间， 函数的对称轴为，则函数在上是增函数， 则的单调递增区间是， 故选：D. 题型06 根据指数函数的值域或最值求参数 1.设含参指数函数为和值域/最值。先判单调性：时递减；复合函数需结合内层单调性用“同增异减”。将值域/最值转化为关于参数的指数方程或不等式。 2.解约束条件：如；含最值时对应端点函数值。若为复合函数，需同步解内层，代入原函数检查值域/最值是否匹配，剔除无效解得参数范围。 41．(25-26高一上·广东仲元中学·期中)已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合指数函数和一次函数的性质、最小值定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增， 所以当时，，即， 显然不存在最小值，不符合题意， 当时，当时，， 当时，函数单调递增，则有， 因为，所以此时函数存在最小值，最小值为，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递增，则有， 要想存在最小值，只需，而，所以； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递减，则有， 因此函数存在最小值，最小值为， 综上所述：， 故选：A 42．(25-26高三·上海七宝中学·)已知函数，对任意，以为边长均可构成三角形，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设，则，进而根据并结合极限思维得，最后解不等式并讨论时成立即可得答案. 【详解】解：因为函数为上的单调递增函数， 所以，当时，， 不妨设，则， 因为对任意，以为边长均可构成三角形， 所以，根据两边之和大于第三边得：， 因为， 所以，考虑到极端情况，无限接近，则，且无限接近2，无限接近, 所以，解得， 当时，对任意，，满足，故恒成立， 又因为， 所以，实数的取值范围是. 故选：B 43．(25-26高三上·安徽五校联考·)已知函数的最大值为2025，则的值为（   ） A． B．-1 C．1 D．或-1 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性结合指数函数的单调性得出的最小值为，最后应用二次函数最值求参数. 【详解】令， 因为单调递减，又因为函数的最大值为2025， 则的最小值为， 所以，且当时，，即得， 解得或，所以. 故选：A 44．若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解． 【详解】∵函数在上的值域为， 当时，在上单调递减，则，解得， 则，得， 当时，在上单调递增，则，解得或（舍去）， 则，得， 综上，或． 故选：A． 45．(24-25高一上·山东泰安第一中学·期中)已知函数（且），若有最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论，利用的不同取值范围，结合分段函数的单调性，分析函数的最小值情况，即可求得实数的取值范围． 【详解】， 当时，， 若，当时，为减函数，此时 ， 当时，为增函数，且此时，要使有最小值， 则，即，，则； 若，当时为减函数，此时 ， 当时，为减函数，且，要使有最小值， 则，即，则． 综上所述，或． 实数的取值范围是． 故选：D． 46．(23-24高一上·云南师范大学附属中学和文山州·期末)已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得，然后对进行分类讨论，结合函数的单调性列方程来求得的值. 【详解】由奇函数的性质可知，，∴，∴，经检验，符合题意， ∴，当时，在上单调递增， ∴，解得或（舍去）； 当时，在上单调递减， ∴，解得或（舍去）. 综上所述，或. 故选：A 47．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立，又由（当且仅当时取等号）， 所以． 故选：A． 48．(18-19高一上·江西上饶中学·期中)函数 在区间上的最大值比最小值大，则实数的值为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性可求出函数的最大值和最小值，利用最大值比最小值大即可求解. 【详解】因为 在区间上是增函数， 所以，， 因此，解得或（舍去）， 故选D. 【点睛】本题主要考查了指数函数的增减性，属于中档题. 题型07 指数函数单调性与奇偶性综合运用 1.先求定义域判奇偶性：定义域对称时，用（偶）或（奇）判断。再判单调性：递减，标注单调区间。 2.比较大小：奇函数化异号为同号，偶函数用，再按单调性比较。解不等式：借奇偶性转化为对称区间，结合单调性去“”。求最值：奇函数对称区间最值相反，偶函数相同。代入定义域验证，确保转化合理、结果准确。 49．对于函数，若在定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”．若存在实数使得是定义在上的伪偶函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意转化为有非零解，分类讨论，分离参数后由基本不等式可得解. 【详解】当是定义在上的伪偶函数时， 则存在非零实数满足，即有解， 当时，，与题意不符，舍去； 当时，，其中． 又因为，所以，即. 故选：B 50．(23-24高一上·黑龙江大庆实验中学实验一部·期中)已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最大值即可. 【详解】因为为偶函数，为奇函数，且①， 所以，②， ①②两式联立可得，. 由可得， 可得， 令，其中， 任取、且，则， 所以， ， 当时，则，则，则， 当时，则，则，则， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 令，则，则， 因为函数、在上均为增函数，则， 故，即，故的最大值为. 故选：C. 51．(22-23高一上·江苏宿迁·期末)已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用方程组法求出、的解析式，再判断的单调性，则问题转化为恒成立，参变分离求出，即可得解. 【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，， 因为，① 所以， 所以，② ①②得，， 因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，又， 若恒成立，则恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以只需， 因为，，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以（当且仅当时，取等号）， 所以， 所以的取值范围为. 故选：B． 52．(22-23高一上·江苏泰州·期末)已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把，，成立，转化为，逐步求解，即可得到本题答案. 【详解】因为，所以， 所以. 设，因为，即 所以在单调递增，最小值为， 因为，，，即， 所以， 令，易得，所以，即， 显然在的最小值为0，所以，即的取值范围为. 故选：B 53．(22-23高一上·重庆南开中学校·月考)已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，分三种情况当时，当时，当时，求得函数的值域，问题转化为，对任意，，，恒成立求解． 【详解】解：因为，，为某一个三角形的三条边长， 所以，对任意，，，恒成立， 函数， 当时，，满足，符合题意； 当时，在上递减， 所以函数的值域为， 所以且， 所以，又，所以， 当时，在上递增， 函数的值域为， 所以且， 所以，解得，所以， 综上的取值范围是． 故选：D． 54．(22-23高三上·甘肃张掖某重点校·)任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出、的解析式，则问题转化为恒成立，参变分离恒成立，利用基本不等式及函数的性质求出参数的取值范围； 【详解】解：由， 有， 解得，， 则，可化为， 有， 有恒成立， 可得恒成立， 又由，当且仅当，即时取等号， 又函数在上单调递减，所以， 所以，即. 故选：C． 55．(21-22高三上·江苏淮安淮阴中学·月考)设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，由已知可得对任意的恒成立，解得对任意的恒成立，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且当时，， 则当时，，，故对任意的，， 对任意的，不等式恒成立， 即，即对任意的恒成立， 且为正数，则，可得，所以，，可得. 故选：A. 56．(23-24高二上·贵州六盘水·期中)已知定义在上的奇函数为单调递增函数，若恒成立，则t的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题为在上的奇函数和单调递增函数，根据，得，设得，再利用基本不等式可得结果. 【分析】由得， 因为为上的奇函数，所以， 故， 又因在上单调递增， 所以即， 设，则恒成立， 则， 因，当且仅当即，时等号成立, 故. 故答案为： 题型08 指数函数模型及应用 1.根据增长/衰减情境（如复利、人口增长），设模型为（衰减），为时间。或用（连续变化）。结合已知条件（如初始值、某时刻值）列方程，求解参数），确定模型解析式。 2.根据问题需求代入数值计算（如求某时间的量、达某量的时间），用指数运算或对数转化求解。验证：检查结果是否符合实际情境（如量为正、率合理），对比已知数据检验模型准确性。若为预测问题，标注取值范围，确保答案具实际意义。 57．(23-24高一上·吉林白山抚松县第一中学·月考)在某个时期，某湖泊的蓝藻每天以5%的增长率呈指数增长，则经过2天后，该湖泊的蓝藻变为原来的（    ） A．1.1倍 B．1.25倍 C．1.1025倍 D．1.0025倍 【答案】C 【分析】根据指数函数求解即可. 【详解】解：设某湖泊的蓝藻量为1， 由题意可知，每天的蓝藻量是以1.05为底的指数函数， 即， 所以经过2天后，湖泊的蓝藻量， 所以该湖泊的蓝澡变为原来的倍. 故选：C. 58．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)山西汾酒储存时间越长价值越高，一瓶原价2000元的汾酒，储存年（）后的价值（元）满足函数（为常数），已知储存4年的此种汾酒价值为2400元，则此种汾酒储存8年的价值为（    ） A．2980元 B．2880元 C．2680元 D．2480元 【答案】B 【分析】由，求得，即可求解. 【详解】由题意可得：，即， 所以汾酒储存8年的价值元. 故选：B 59．(25-26高一上·福建厦门第一中学·期中)厦门一中即将迎来120周年校庆，在一百二十年的历史中，培养出的优秀学子在祖国的各行各业发光发热，其中就包括多名优秀的飞行员．飞行员是一项对身体要求很高的职业，已知大气压强（单位：）和海拔高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知海拔高度处的大气压强是，则当飞机飞行在海拔高度、飞机飞行在海拔高度时，飞机所受的大气压强约是B飞机所受的大气压强的（    ） A．0.67倍 B．0.92倍 C．1.09倍 D．1.5倍 【答案】C 【分析】根据给定信息，求出，再分别求得当飞机飞行在海拔高度、飞机飞行在海拔高度时，两飞机各自所受的大气压强，从而求得飞机所受的大气压强约是B飞机所受的大气压强的倍. 【详解】由题可知，，所以. 当时，； 当时，. 因为. 所以飞机所受的大气压强约是B飞机所受的大气压强的倍. 故选：C. 60．(25-26高一上·广西玉林八校·调研)遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天9：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（   ） 参考数据：． A．8：30 B．8：00 C．7：30 D．7：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始． 【详解】令，则． 由参考数据，． 则的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A． 61．(25-26高一上·安徽华师联盟·期中)某培养皿中微生物的含量与时间（单位：小时）的关系满足函数，且第3小时时其含量为10，第7小时时其含量为40，若第小时时其含量为80，则（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【分析】根据求出、的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】由题意得， 因为第3小时时其含量为10，第7小时时其含量为40， 所以，解得， 所以， 由，解得． 故选：C． 62．(25-26高一上·江苏南京七校联合体·期中)牛顿冷却定律（Newton’s law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降至，那么大约再经过（    ）分钟，温度降至. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定函数模型代入值，化简可得，进而可得解. 【详解】由已知， 又环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降为， 即，，，， 代入可知，则， 设再经过分钟，温度可由降为， 即， 即，即， 故选：B. 63．(25-26高三上·福建龙岩一级校联盟·期中)随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（    ）（参考数据：，） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】C 【分析】设处理这段自然语言的翻译所需时间为秒，得到，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解. 【详解】设处理这段自然语言的翻译所需时间为秒，则， 两边同时取对数，可得，可得， 即， 所以. 故选：C. 64．(25-26高一上·河南部分普通高中·期中)已知某视频第（为1到20内的整数）天的播放量可以用表示，其中为正实数，则该视频第8天的播放量是第3天播放量的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】由解析式代入数据即可求解. 【详解】由函数解析式，可得： 第8天的播放量是第3天播放量的. 故选：B． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $