第11讲 幂函数-2023年暑假高一数学沪教版同步精品讲义（上海专用）

第十一讲 幂函数 【教学目标】 1. 理解幂函数的概念，掌握幂函数的图像与性质并能简单应用； 2. 体会幂函数的幂指数与其图像之间的对应关系； 3. 通过研究幂函数，理解它们的变化规律，并会作函数的大致图像. 【应知应会】 一、复习引入 在初中阶段，我们已经学习过正比例函数，反比例函数即以及二次函数，它们的“音容笑貌”还记得吗？这三个函数从形式上具备怎样的共同特征？ 二、知识梳理 【难度系数：★★★   参考时间：15 min】 （一）幂函数的定义 当指数固定，等式确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数（power functions）. 使得有意义的的取值范围，称为此幂函数的定义域. 幂函数的定义域可以是不相同的，它与指数的值有关. 【注】（1）幂函数的系数为1； （2）幂函数的指数. （二）幂函数的图象 （三）幂函数的性质 所有的幂函数在（0，）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1）. 时：（图A） （1）图象都通过（0，0），（1，1）； （2）在第一象限内，函数值y随x的（严格）增大而（严格）增大（严格增函数）. 时：（图B） （1）图象都通过点（1，1）； （2）在第一象限内，函数值y随x的（严格）增大而（严格）减小（严格减函数）； （3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近. 【思考】时，图像如何画？ 【小结】与两坐标轴都无公共点 幂的基本不等式：当时，若，则，得. 三、典型例题 【难度系数：★★★   参考时间：30 min】 例1. 求函数的定义域. 例2. 写出函数的定义域，作出其大致图像，并根据图像判断其单调性. 例3. 已知，求实数的取值范围. 变式1. 已知，求实数的取值范围. 变式2. 已知，求实数的取值范围. 变式3. 已知，求实数的取值范围. 例4. 已知点在函数的图像上. （1）求实数的值； （2）作出此函数的大致图像，并写出对称中心以及判断它的单调性. 例5. 设幂函数. （1）求证：该函数在区间上是严格减函数； （2）设，，利用（1）的结论，比较与的大小. A组 双基过关 【难度系数：★★   参考时间：20 min】 1. 若幂函数的图像经过点，则___________. 2. 函数与的图像交点的坐标为 . 3. 幂函数的图像必经过第___________象限. 4. 若，则实数的取值范围为 . 5. 若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格减函数，写出一个满足上述条件的函数表达式： . 6. 下列结论：①幂函数的图像都经过点和；②幂函数的图像不可能在第四象限；③当时，函数的图像是一条直线；④当时，幂函数是严格增函数；⑤当时，幂函数在第一象限内是严格减函数. 其中，正确的序号有 . 7. 下列函数是幂函数的是…………………………………………………………………………………（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 8. 请把相应的幂函数图像代号填入表格. ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. 函数代号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 图像代号 B组 巩固提高 【难度系数：★★★   参考时间：25 min】 1. 若，则实数的取值范围为___________. 2. 若幂函数的图像与坐标轴无交点，则实数的所有取值组成的集合 为___________. 3. 不等式的解集为 . 4. 若，则实数的取值范围为 . 5. 设，则下列不等式成立的是………………………………………………………………（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 6. 设. 若，均有成立，则取值的个数是（ ） A. 4个； B. 3个； C. 2个； D. 1个. 5. 设点在幂函数的图像上，点幂函数的图像上. 问：当为何值时，？ 8. 设幂函数在区间上是严格减函数. （1）求该函数的表达式； （2）设（为奇数），，且函数的图像关于原点对称，写出实数满足的条件. C组 拓展延伸 【难度系数：★★★★   参考时间：30 min】 1. 下列结论中，正确的是……………………………………………………………………………………（ ） A. 幂函数的图像都不经过第四象限； B. 幂函数，当时为严格增函数，当时为严格减函数； C. 两个不同的幂函数的图像最多有三个交点，最少有0个交点； D. 若幂函数的图像关于轴