第10讲 幂、指数与对数-2023年暑假高一数学沪教版同步精品讲义（上海专用）

第十讲 幂、指数与对数 【教学目标】 1. 掌握有理数指数幂的定义和运算性质，掌握实数指数幂的定义和运算性质，并会简单证明； 2. 经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念； 3. 能熟练利用初中学过的指数运算公式解决实际的计算问题，对数的运算公式熟练掌握； 4. 熟练地进行对数式与指数式的互换，掌握对数的运算性质． 一、应知应会 【难度系数：★   参考时间：5 min】 1. 根式 （1）根式的概念 若，则叫做的次方根，其中且. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. （2）的次方根 2. 有理数指数幂 幂的概念 正分数指数幂 负分数指数幂： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 有理数指数幂的性质 指数幂的运算 指数幂的运算规律 （1）有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. （3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数. （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. 二、知识梳理 【难度系数：★★   参考时间：15 min】 （一）指数幂的拓展 对任意给定的正数及实数，前述的指数幂的三个运算性质仍然成立，即有 对任意给定的正数及实数，成立 ， ， . 我们不加证明地给出 定理 当，，恒成立. 此定理称为幂的基本不等式. （二）对数 1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数. 【注意】①是否是所有的实数都有对数呢？负数和零没有对数，即. ②底数的限制：且. 2．指数与对数的互化 幂底数 ←→ 对数底数 指数 ←→ 对数 幂 ←→ 真数 3．对数的形式 ①常用对数：以10为底的对数，简记为.   ②自然对数：以无理数=2. 71828…为底的对数，简记为.   ③一般对数：.   4．对数运算 （1）基本性质 ① 0和负数没有对数，即； ② 1的对数是0，即； ③底数的对数等于1，即； ④对数恒等式：. （2）运算法则 如果，则 ①； ②； ③（）； ④； ⑤. 5．换底公式 若，且，且，，则. 【两个常用推论】 （1） （2）（且） 三、典型例题 【难度系数：★★★   参考时间：30 min】 例1．用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： （1）； （2）； （3）； （4）. 例2．求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 例3．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 例4．判断下列各式是否成立，如果成立，请给出证明；若不成立，请给出反例. （且；；） （1）； （2）； （3）； （4）. 例5．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 例6．已知，（且），用含有的代数式表示. 例7．（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. 例8．设均为正实数，且，求的最大值. 例9．已知方程的两个实根分别为、，求的值. 例10．设，求证：. A组 双基过关 【难度系数：★★   参考时间：20 min】 1. 化简：________. 2. 设，则________. 3. 若，，则________. 4. 若，则________. 5. 若，则用含有的代数式表示________. 6. 设且，，若，则________. 7. 若，则的结果是……………………………………………………（ ） A．； B．； C．1； D．. 8. 设，，则……………………………………………………………（ ） A．； B．； C．； D．. 9. 设、是方程的两个实根，则的值是………………………………（ ） A．2； B．3； C．4； D．以上均不对. 10. 设，若，则…………………………………………………………（ ） A．2； B．1； C．0； D．. B组 巩固提高 【难度系数：★★★   参考时间：25 min】 1. 若，则的值是________. 2. 如果，那么________. 3. 若，且，则的值是________. 4. 方程的解为________. 5. 若正实数、、