第09讲 不等式复习-2023年暑假高一数学沪教版同步精品讲义（上海专用）

第九讲 《不等式》复习 一、知识梳理 【难度系数：★   参考时间：15 min】 （一）基本内容 1. 不等式的性质：（1）对称性： （2）传递性： （3）加法法则：； （4）乘法法则：；； （5）倒数法则： （6）乘方法则： （7）开方法则： 2. 应用不等式的性质比较两个实数的大小——作差法 3. 一元二次不等式及其解法：的解集： 设相应的一元二次方程的两根为，， 则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数 的图象 一元二次方程 的解集 有两相异实根 有两相等实根 无实根 的解集 的解集 4. 分式不等式和绝对值不等式的解法 （1）分式不等式可以转化为整式不等式，同样接下来第一步把最高次项的系数化为正数，对于转化的方法有两种：一种是转化为不等式组或；一种是转化为. 【注】对于不是标准形式的，要先移项通分化到形如或再按照上面的方法求解. （2）绝对值的不等式有两种常见的解法：一种是根据绝对值的意义作分类讨论，即；二是当不等式的两边都为非负时，两边平方，去掉绝对值号后再求解. 5. 平均值不等式： （1）对任意正数和，有，当且仅当时等号成立【积定和最小】 （2）对任意正数和，有，当且仅当时等号成立【和定积最大】 6. 三角不等式：，当且仅当时等号成立 （二）应注意的问题 1. 应用不等式的性质时，要注意性质成立的条件； 2. 解一元二次不等式，要和一元二次方程以及二次函数结合； 3. 平均值不等式成立的条件是：“一正二定三相等”. 二、典型例题 【难度系数：★★★   参考时间：15 min 】 题型一 比较大小 例1．（1） ； （2） ； （3） ； （4） ，； （5） 题型二 利用不等式的性质求取值范围 例2．如果，则 （1）的取值范围是 ； （2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ； （4）的取值范围是 . 例3．已知函数，满足，，那么的取值范围是 . 题型三 解一元二次不等式 例4．解不等式：（1） （2） 例5．已知关于的方程两个相异实根，求实数的取值范围. 题型四 利用基本不等式证明不等式 例6．求证. 例7．（1）若，且，求：I. 的最小值；II. 的最小值. （2）求的最小值. A组 双基过关 【难度系数：★★   参考时间：20 min】 1. 关于x的不等式的解集是 . 2. 不等式的解集是________. 3. 若集合，集合，则集合 . 4. （1）函数的最小值是________. （2）函数的最小值是________，最大值是________. 5. 若不等式的解集是，则实数的值为________. 6. 若关于x的不等式对任意恒成立，则实数n的取值范围是 . 7. “且”是“”（x、y、、，且）的…………………… （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 8. 求证：对所有实数x恒成立，并求等号成立时x的取值范围. B组 巩固提高 【难度系数：★★★   参考时间：25 min】 1. 若，则与的大小关系是………………………………………………………… （ ） A． B． C． D．不能确定 2. 若是方程的解，则的最小值为……………………………… （ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 3. 若，则的最小值为……………………………………………………………… （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度送达灾区，已知运送的路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于km，那么这批物资全部到达灾区最少需要时间………………… （ ） A. 5 h B. 10 h C. 15 h D. 20 h 5. 解不等式：. 6. 已知关于x的不等式的解集是，求实数、的值. 7. 已知不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. C组 拓展延伸 【难度系数：★★★★    参考时间：30 min】 1