第08讲 基本不等式及其应用-2023年暑假高一数学沪教版同步精品讲义（上海专用）

第八讲 基本不等式及其应用 【教学目标】 1. 掌握平均值不等式和三角不等式； 2. 运用平均值不等式解决实际问题. 一、应知应会 【难度系数：★ 参考时间：5 min】 （一）知识回顾 1. 分式不等式的解法； 2. 一元二次不等式的解法； 3. 绝对值不等式的解法. （二）引入 1. 给一根长度给定的铁丝，围成的各种封闭图形中，何时面积最大？ 2. 如果长度为16，围成的的矩形中，何时面积最大？ 二、知识梳理 【难度系数：★★★ 参考时间：15 min】 （一）平均值不等式及其应用 1. 常用不等式 对任意实数和，有，当且仅当时等号成立. 证明： 2. 平均值不等式 对任意正数和，有，当且仅当时等号成立. 证明： 当且仅当时， 综上，对任意正数和，有. 【注】①我们称为正数和的算术平均值，称为正数和的几何平均值，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值. ②和成立的条件是不同的：前者只要求和都是实数，而后者要求和都是正数. ③ “当且仅当”的含义是充要条件. ④ 平均值不等式的几何意义是“半径不小于半弦”. 以长为的线段为直径作圆，在直径上取点，使，，过点作垂直于直径的弦，那么，即，这个圆的半径为，显然，即 ，当且仅当点与圆心重合，即时取等. 三、典型例题 【难度系数：★★★ 参考时间：30 min】 例1. 已知，求证：，并指出等号成立的条件. 例2. 已知，求证：，并指出等号成立的条件. 定理 对于任意的实数、，有 ， 当且仅当时等号成立. 证明：对任意实数和，有，当且仅当时等号成立. 于是，从而，即. 从而原不等式成立，当且仅当时等号成立. 例3. 设，求二次函数的最大值. 例4. 设、为正数，且，比较的值与的大小. 例5. 证明： （1）在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大； （2）在面积相同的所有矩形中，正方形的周长最小. 例6. 某新建居民小区欲建一面积为700的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3，短边外人行道宽4. 如图所示，问如何设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小. （二）三角不等式 根据三角形中两边之和大于第三边的事实，我们可以类比得到下面的不等式： 定理 两个实数的绝对值的和大于等于他们和的绝对值，即对任意的实数、，有 ， 当且仅当时等号成立. 证明：因为等价于， 即，也即， 所以三角不等式成立，当且仅当时等号成立. 例7. 已知、为实数，求证：. 例8. 已知为实数，求证：，并指出等号成立的条件. 例9. 证明：对所有实数恒成立，并求等号成立时的取值范围. A组 双基过关 【难度系数：★★   参考时间：15 min】 1. 的最小值为__________. 2. 若， 且，求证：，并指出等号成立的条件. 3. 若实数满足，求的最小值. 4. 设，求的最小值. 5. 求证：对任意实数，有，当且仅当时等号成立. 6. 求的最小值，并指出等号成立的条件. B组 巩固提高 【难度系数：★★★   参考时间：20 min】 1. 已知，，当且仅当 时取等号. 2. （1）成立的条件是 ； （2）成立的条件 ； （3）成立的条件是 ； （4）成立的条件是 . 3. 已知，是实数，且，，则的最大值与最小值分别是…………………（ ） A. 5和1 B. 5和-1 C. 5和0 D. 5和-5 4. 已知，求证：. 5. 设，证明：，并求出当时的取值范围. 6. 若求证：. C组 拓展延伸 【难度系数：★★★★   参考时间：30 min】 1. 已知，，，，那么的最大值为…………………………… （ ） A. B. C. D. 2. 若的最小值为3，则实数的值是………………………………………（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 3. （1）已知，，，则的最小值为__________； （2）已知，，，则的最小值为__________. 4. 若正数，满足，则的最小值为__________. 4. 若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 . 5. 已知x，，若，则的取值范围为__________. 6. 已知，且恒成立，求的最大值. D组 综合训练 【难度系数：★★★   参考时间：25 min】 1. 已知，则的取值范围是