第03讲 常用逻辑用语-2023年暑假高一数学沪教版同步精品讲义（上海专用）

第三讲 常用逻辑用语 【教学目标】 1. 了解命题和推出关系的概念； 2. 能分辨充分条件、必要条件、充分必要条件之间的关系和区别； 3. 掌握充分条件、必要条件、充分必要条件的证明； 4. 掌握反证法. 知识梳理 【难度系数：★★★   参考时间：30 min】 1. 命题 能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述. 例1. 下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？ （1）个位数是5的自然数能被5整除； （2）凡直角三角形都相似； （3）上课请不要讲话； （4）若两个角互为补角，则这两个角不相等； （5）你是高一学生吗？ （6）. 2. 推出关系 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性： 若且，则. 它是逻辑推理的基础. 例2. 在下列各题中，用符号“”或“”把这两件事联系起来. （1）：实数满足，： 或 （2）：，：或（为全集） （3）：，： （4）：，： 3. 充分条件，必要条件 【定义】对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 【理解】该定义中，“充分”二字说明“成立时，一定成立”；而“必要”二字说明“不成立时，一定不成立”. 【举例】小明是上海人，小明是中国人. （1）若，，那么叫做的充分非必要条件 （2）若，，那么叫做的必要非充分条件 （3）若，，那么叫做的充要条件 （4）若，，那么叫做的既非充分也非必要条件 【子集与推出关系】是的充分条件：；是的充分非必要条件： 【小推大】 例3. 指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等） （1）：；：. （2）：同位角相等；：两直线平行. （3）：；：. （4）：；：. 例4. 已知是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则是的 条件，是 的 条件，是的 条件. （填“充分”或“必要”） 例5. 设集合，，，那么点的充要条件是…………………………………………………………………… （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 例6. 设，证明：若是偶数，则也是偶数. 5. 一些常用的否定形式 应用反证法证明命题第一步是假设的命题不成立，即否定命题的结论. 这一步是十分关键的. 只有这步表述得对了，接下去的逻辑推理才有意义. 数学上一些常用的否定形式如下表. 一些常用的否定形式 陈述句 陈述句 或 且 至少有2个 最多有1个 至多有2个 至少有3个 都是对的 不都是对的（至少有一个是错的） 所有的满足性质 至少存在一个不满足性质 所有的不满足性质 至少存在一个满足性质 例7. 已知，证明：若，则或. 例8. 证明：是无理数. A组 双基过关 【难度系数：★★   参考时间：20 min】 1. 判断下列命题的真假： （1）素数是奇数； （2）不含任何元素的集合是空集； （3）是的真子集； （4）0是的真子集； （5）为两集合，如果，那么； （6）如果是的子集，那么不是的子集. 2. 用符号“”表示下列事件的推出关系： （1）：是等边三角形，：是轴对称图形； （2）：一次函数的图像经过第一、二、三象限，：一次函数中，； （3）：实数适合，：. 3. （1）“，”是“”的 条件. （2）“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的 条件.