第07讲 导数与函数的零点问题-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第7讲　 导数与函数的零点问题 讲义设计思维导图： 命题分析 导数与函数的零点问题是高考中的热点问题，同时也是高三数学复习中的难点和重点，这类问题综合考察导数与函数的知识，综合考查等价转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法，综合考查考生的逻辑思维能力， 导数与函数的零点问题，主要题型分为零点个数的判断与证明、已知零点个数求参数、零点个数的证明、零点的分布以及和极值点相关的问题，解决这类问题的方法主要是数形结合和分类讨论。 题型一：函数零点（方程根）个数的判断 考向1 直接法 例1已知函数，．曲线在点处的切线与直线平行，则 ，方程在内实根的个数是 ． 【变式演练1】 函数的零点个数为( ) A. B. C. D. 【对点演练2】已知函数f(x)＝ln x－.讨论f(x)的单调性，并判断f(x)在内零点的个数。 考向2 分离参数 例2（2023四川绵阳三模）已知函数. (1)当时，求曲线在处切线的方程； (2)讨论函数在区间上的零点个数. 【对点演练】（2023甘肃武威期中）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值： (2)若，讨论函数的零点个数． 考向3 分类讨论 例3 　已知f (x)＝e－x(ax2＋x＋1)．当a>0时，试讨论方程f (x)＝1的解的个数． 【对点演练】已知函数，． (1)讨论的单调区间； (2)当时，试判断函数的零点个数解： 题型二：函数零点的证明 例4（2023东北三省四市教研联合体一模）已知函数，是的导函数，且． (1)求实数的值，并证明函数在处取得极值； (2)证明在每一个区间都有唯一零点． 【对点演练】(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)． (1)若a＝3，求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点． 题型三：已知函数零点求参数（范围） 考向1 性质分析法 例5已知函数. （1）讨论在定义域上的单调性； （2）若函数在处取得极小值，且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围. 【对点演练】若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围． 考向2 分离参数 例6．已知函数f(x)＝ax2－1－2ln x(a∈R)． (1)当a＝1时，求证：f(x)≥0； (2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围． 方向3：构造双函数 例7若函数f（x）＝ex（x2－2x＋1－a）－x恒有2个零点，求a的取值范围. 【变式演练】已知函数有唯一零点，则a= A． B． C． D．1 方向4 分类讨论法 例7（2022全国乙卷）已知函数f（x）＝ax－－（a＋1）ln x. （1）当a＝0时，求f（x）的最大值； （2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围. 【对点演练】已知函数f(x)＝kx－ln x(k＞0)． (1)若k＝1，求f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值． 方向5 换元为复合函数的零点问题 例8（2023四川成都高三下学期调研）已知函数,其中,.        (1)求函数的单调区间;        (2)当时,函数恰有两个零点,求的取值范围. 题型四 以极值点为背景的零点问题 例9（2023四川省成都高三三诊）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是函数的极小值点，求a的取值范围． 【对点演练】（2023成都蓉城联盟高三调研） 已知函数.        (1)当时,求函数在区间上的最大值与最小值;        (2)若函数的两个极值点分别为,证明:. 题型五 零点的分布问题 例10（2023河南开封高级中学模考）已知函数.        (1)当时,求函数在区间上的值域;        (2)若函数有三个零点,求实数的取值范围,并求的值. 【对点演练】 （2023山东菏泽一模）已知函数.        (1)若函数在上单调递增,求的取值范围;        (2)若,且有两个零点,证明:. 一、 1. 若函数有两个不同的极值点,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 2.已知函数若函数(为常数)有三个零点,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 3. 若函数有三个零点,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.（2023湖北5月调研）已知函数图象上存在关于轴对称的两点,则正数的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.（多选） （2023吉林调研）如图,函数的图象称为牛顿三叉戟曲线,函数满足有个零点,,,且,则( )        A. B. C. D. 6．（天津市2023届高三三模数学试题）已知