专题24 任意角和弧度制及三角函数的概念-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题24 任意角和弧度制及三角函数的概念 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：象限角及终边相同的角 题型二：弧度制及其应用 题型三：三角函数的定义 题型四：三角函数值符号的判定 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 【考点预测】 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类 (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)， 则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． (2)任意角的三角函数的定义(推广)： 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． 【常用结论】 1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用. 3.象限角 4.轴线角 【方法技巧】 1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． 2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置． 3.应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 4.利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置． 5.判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 二、【题型归类】 【题型一】象限角及终边相同的角 【典例1】(多选)下列与角的终边相同的角是(　　) A． B．2kπ－(k∈Z) C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z) 【典例2】集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 【典例3】若角α是第二象限角，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【题型二】弧度制及其应用 【典例1】(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则下列选项正确的有(　　) A．扇形的半径为2 B．扇形的半径为1 C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2 【典例2】一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为________． 【典例3】已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【题型三】三角函数的定义 【典例1】已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________. 【典例2】已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 【典例3】若点P(cos θ，sin θ)与点Q关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________. 【题型四】三角函数值符号的判定 【典例1】若sin θ·co