第02课 函数的单调性与最大(小)值（学案+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案（新高考专用）

第02课 函数的单调性与最大(小)值-2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案 考试要求： 1. 借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义. 2. 会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 一、【考点逐点突破】 【考点1】增函数：当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 自左向右看图象是上升的. 【典例】利用单调性定义证明：函数f(x)＝在其定义域内是增函数. 【解析】函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)， 设∀x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝－ ＝ ＝. 因为x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2， 所以＋>0，x2－x1>0. 所以f(x1)<f(x2)， 即函数f(x)＝在定义域上是增函数. 【反思】函数的单调性是在某指定区间上而言的，自变量x的取值必须是连续的.用定义证明函数的单调性的基本步骤是“取值——作差(或作商)——变形——定号——判断”. 【考点2】减函数：当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 自左向右看图象是下降的. 【典例】(多选)已知函数f(x)的图象如图所示，则(　　) A．函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数 B．函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数 C．函数f(x)在区间[－1,4]上是减函数 D．函数f(x)在区间[2,4]上是减函数 【解析】结合题图可知函数在区间[－1,2]上的图象是“上升”的，故A正确; 同理D正确.故选AD. 【反思】利用图象的升降准确的判断函数的增减. 【考点3】单调区间的定义:如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【典例】画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出该函数的单调区间. 【解析】y＝即y＝ 函数的大致图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和(0,1]，单调递减区间为(－1,0]和(1，＋∞). 【反思】根据函数的图象求函数单调区间的方法 (1)画出函数图象. (2)把函数图象向x轴作正投影. (3)图象上升对应增区间，图象下降对应减区间. 【考点4】M为最大值: 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足: (1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 【典例】已知f(x)＝5－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)(　　) A．有最大值3，最小值5－2 B．有最大值5＋2，无最小值 C．有最大值3，无最小值 D．既无最大值，又无最小值 【解析】由f(x)＝g(x)，得5－2|x|＝x2－2x.当x≥0时，5－2x＝x2－2x，所以x2＝5，所以x＝或－(舍去).当x<0时，5＋2x＝x2－2x，即x2－4x－5＝0，解得x＝－1或x＝5(舍去).故当x≤－1时，F(x)＝f(x)＝5＋2x；当－1<x<时，F(x)＝g(x)＝x2－2x；当x≥时，F(x)＝f(x)＝5－2x.画出F(x)的图象，如图，由图象可知，当x＝－1时，F(x)取得最大值F(－1)＝f(－1)＝5－2＝3，无最小值.故选C. 【反思】作出函数图象，从图象上找最值. 【考点5】最小值:设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足: (1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 【典例】已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3, 当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t). 【解析】①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， 所以当x＝t时，f(x)取得最小值， 此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时， f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增， 故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2. ③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数， 所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值， 此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2， 综上得g(t)＝ 【反思】当含参数时要对参数讨论完整. 【考点6】在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. 【典例】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x| C．y＝x＋cos x D．y＝ 【解析】∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数， ∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象知，故B不正确； 对于选项C，y′＝1－sin x≥0， ∴y＝x＋cos x在