专题12 阅读与新定义-2022-2023学年八年级数学下学期期末复习培优拔高（苏科版）

专题12 阅读与新定义 1．阅读理解 阅读下列材料，完成相应任务． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：BDAC． 分析：要证明BD等于AC的一半．可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2，延长BD到E，使得DE＝BD．连接AE，CE．可证四边形ABCE是矩形，由矩形的对角线相等得BE＝AC，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到BDAC． 任务一：请你按材料中的分析写出证明过程； 任务二：上述证明方法中主要体现的数学思想是 ； A．转化思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．从一般到特殊思想 任务三：如图3，点C是线段AB上一点，CD⊥AB，点E是线段CD的中点，分别连接AD、BE，点F，G分别是AD和BE的中点，连接FG．若AB＝12，AC＝CD＝8，则FG＝ ． 2．阅读与思考： 若两个等腰三角形有公共腰，则称这两个等腰三角形不在公共腰上的两个顶点关于腰互为对顶点．若再满足不在公共腰上的两个角的和是90°，则称这两个顶点关于腰为互余对顶点． 如图1，在四边形ABCD中，AC是一条对角线，CD＝CA＝CB，则点B与点D关于AC互为对顶点，若再满足∠B+∠D＝90°，则点B与点D关于AC为互余对顶点． 任务： 如图2，平行四边形ABCD与四边形ABCE有两边重合，AC为两个四边形的对角线，AE＝AD＝AC，∠ACB＝70°． （1）证明：点B与点E关于AC互为对顶点． （2）当点B与点E关于AC为互余对顶点时，求∠DCE的度数． 3．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，且CD⊥BE，CD＝3，BE＝5，试求BC+DE的值． 小明发现，过点E作EF∥DC，交BC的延长线于点F，构造△BEF，经过推理得到▱DCFE，再计算就能够使问题得到解决（如图②）．请你帮小明回答：BC+DE的值为 ，并写出推理和计算过程． 参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题： 如图③，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC＝BF＝DF，求∠AGF的度数． 4．请阅读下列材料： 问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB，PC＝1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长． 李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决． 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA，BP，PC＝1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长． 5．如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE＝EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程： 证明：如图1，取AB的中点M，连接EM． ∵∠AEF＝90° ∴∠FEC+∠AEB＝90° 又∵∠EAM+∠AEB＝90° ∴∠EAM＝∠FEC ∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点 ∴AM＝EC 又可知△BME是等腰直角三角形 ∴∠AME＝135° 又∵CF是正方形外角的平分线 ∴∠ECF＝135° ∴△AEM≌△EFC（ASA） ∴AE＝EF （2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE＝EF仍然成立，请你证明这一结论． （3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由． 6．【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如与， 解：∵， ， ∴是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，则的“关联分式”（填“是”或“不是”）． （2）和谐小组成员在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 解：设的“关联分式”为B， 则B， ∴，