基础夯实练63：圆锥曲线中范围与最值问题-2024届高三数学一轮复习

基础夯实练63 圆锥曲线中范围与最值问题 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1,0)，离心率为2， (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知B(0，)，直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围． 2．(2023·吕梁模拟)已知O为坐标原点，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(，1)． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为k1，直线OB的斜率为k2，且k1k2＝－，求·的取值范围． 3．(2023·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为p2(O为坐标原点)． (1)求抛物线E的方程； (2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值． 4．已知椭圆的两个焦点是F1(0，－2)，F2(0,2)，点P(，2)在椭圆上． (1)求此椭圆的方程； (2)过F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B，C，D四点，求四边形ACBD面积的取值范围． 5．已知F(，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，点M在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围． 6．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点C(1，y0)到其焦点F的距离为2. (1)求实数p的值； (2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，且l1，l2的交点为Q，l1，l2与y轴的交点分别为M，N.求△QMN面积的取值范围． 7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 8．已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，直线x＝被C截得的线段长为. (1)求C的方程； (2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且＝λ，求四边形ABF1F2面积的最大值． 参考答案 1．解　(1)∵a＝1，＝2， ∴c＝2，b2＝3， ∴双曲线C的标准方程为 x2－＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 线段MN的中点Q(x0，y0)， 联立 得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0， 依题意 即① 由根与系数的关系可得 x1＋x2＝， x1·x2＝－， 则x0＝＝， y0＝kx0＋m＝， ∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN， ∴kBQ＝＝ ＝－， ∴3－k2＝m，② 又k2＝3－m>0，③ 由①②③得 m<－或0<m<. 2．解　(1)由题意可得 又a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝. 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当直线l的斜率存在时， 设l：y＝kx＋t， 联立 消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－9＝0，Δ＝12(3＋9k2－t2)>0， 则 又k1k2＝＝－， 故y1y2＝－x1x2且x1x2≠0， 即3t2－9≠0，则t2≠3， 又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t， 所以＝ ＝k2＋ ＝k2＋ ＝＝－， 整理得2t2＝9k2＋3≥3， 则t2≥且Δ>0恒成立． ·＝x1x2＋y1y2 ＝x1x2－x1x2＝x1x2 ＝·＝3· ＝3， 又t2≥，且t2≠3， 故3∈[－3,0)∪(0,3)． 当直线l的斜率不存在时，x2＝x1，y2＝－y1，则k1k2＝－＝－， 又＋＝1，解得x＝， 则·＝x－y＝x＝3. 综上，·的取值范围为[－3,0)∪(0,3]． 3．解　(1)由题意可得 解得p＝2. 故抛物线E的方程为y2＝4x. (2)由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 易知x1＝ty1＋1>0， x2＝ty2＋1>0， 联立 消去x得y2－4ty－4＝0. 所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4. 由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y1＝－t(x－x1)， 联立 消去x得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0. 所以y1＋y3＝－， y1y3＝. 所以|AC|＝ ＝ ＝ ＝ ＝·|ty1＋2| ＝·(ty1＋2)． 同理可得 |BD|＝·(ty2＋2)， 所以|AC|＋|BD| ＝·[t(y1＋y2)＋4] ＝(t2＋1) ＝8， 令f(x)