2024届高三数学一轮复习基础夯实练64：圆锥曲线中定点与定值问题

基础夯实练64 圆锥曲线中定点与定值问题 1．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)与圆O：x2＋y2＝12相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N. (1)求抛物线C的方程； (2)过点M，N作抛物线C的切线l1，l2，P(x0，y0)是l1，l2的交点，求证：点P在定直线上． 2．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，且过点P(3，)． (1)求C的方程； (2)设Q(1,0)，直线x＝t(t∈R)不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，证明：直线AD过定点M. 3．(2023·吉林模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－，0)，B(，0)，动点E(x，y)满足直线AE与BE的斜率之积为－，记E的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过点D(2,0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x＝3的垂线，垂足为G，过点O作OM⊥QG，垂足为M.证明：存在定点N，使得|MN|为定值． 4.(2022·杭州质检)如图，已知椭圆C1：＋＝1，椭圆C2：＋＝1，A(－2,0)，B(2,0)，P为椭圆C2上的动点且在第一象限，直线PA，PB分别交椭圆C1于E，F两点，连接EF交x轴于Q点，过B点作BH交椭圆C1，C2于G，H点，且BH∥PA. (1)证明：kBF·kBG为定值； (2)证明：直线GF过定点，并求出该定点； (3)若记P，Q两点的横坐标分别为xP，xQ，证明：xPxQ为定值． 5.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． 6.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点． (1)求椭圆C的方程； (2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB为直径的圆恒过点M? 7.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线． (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：为定值． 8.已知点F(0,1)，直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，且|PF|是P到l的距离的. (1)求曲线C的方程； (2)若经过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值． 参考答案 1．(1)解　点A的横坐标为2，代入圆O得y＝2， 所以A(2，2)， 代入解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y. (2)证明　抛物线C：y＝， 则y′＝， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 所以切线PM的方程为 y－y1＝(x－x1)， 即y＝x－， 同理切线PN的方程为 y＝x－， 联立解得点P， 设直线MN的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y， 得x2－4kx－4＝0，所以x1x2＝－4， 所以点P在y＝－1上，结论得证． 2．解　(1)因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x， 则可设双曲线的方程为 －＝λ(λ≠0)， 将点P(3，)代入得－＝λ， 解得λ＝， 所以双曲线C的方程为－y2＝1. (2)显然直线BQ的斜率不为零， 设直线BQ：x＝my＋1，B(x1，y1)， D(x2，y2)，A(x1，－y1)， 联立消去x，整理得 (m2－3)y2＋2my－2＝0， 依题意得m2－3≠0， 且Δ＝4m2＋8(m2－3)>0， 即m2>2且m2≠3， y1＋y2＝－，y1y2＝－， 直线AD的方程为 y＋y1＝(x－x1)， 令y＝0， 得x＝＋x1 ＝ ＝ ＝ ＝＝＝3. 所以直线AD过定点M(3,0)． 3．(1)解　由A(－，0)，B(，0)， E(x，y)可得kAE＝， kBE＝， 由题意得×＝－， 化简得＋＝1(|x|≠)， 所以曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(不含左右顶点)． (2)证明　由(1)知直线l与x轴不重合，可设l：x＝my＋2，P(x1，y1)， Q(x2，y2)， 联立 得(m2＋3)y2＋4my－2＝0. Δ＝24m2＋24>0， 则y1＋y2＝－， y1y2＝－， 故有m＝. 因为G(3，y1)，Q(my2＋2，y2)， 所以直线QG的斜率为＝＝2y1， 则直线QG的方程为 y－y1＝2y1(x－3)， 即y＝2y1， 故直线QG过定点H. 因为OM⊥QG，所以△OHM为直角三角形， 取OH的中点N