第05讲 平面上的距离-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第05讲 平面上的距离 1. 探索并掌握平面上两点间的距离公式． 2．探索并掌握点到直线的距离公式．　 3．会求两条平行直线间的距离． 知识点一 平面上两点间的距离公式 1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ ． 2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根． 知识点二 平面上特殊两点间的距离公式 1．两点间的距离与两点的先后顺序无关． 2．当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|； 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|； 当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝或|P1P2|＝． 知识点三 点到直线的距离公式与两条平行直线间的距离公式 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝ 知识点四 点到直线距离的向量表示 如图，设n为过点P且垂直于l的单位向量，就是在n上的投影向量，点P到直线l的距离||＝|·n|． 考点一：两点间的距离公式 例1 已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状． 【解析】法一：∵|AB|＝＝2， |AC|＝＝2， |BC|＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB． 又|AC|＝＝2， |AB|＝＝2， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形． 【总结】 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝； (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 变式 已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试求BC边上的中线AM的长． 【解析】设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x＝＝2，y＝＝2，即点M的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM|＝＝，所以BC边上的中线AM的长为． 考点二：运用坐标法解决平面几何问题 例2 在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)． 【解析】[证明]　设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0)． 因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2， |AC|2＝(a－b)2＋c2， |AD|2＝b2＋c2， |DC|2＝a2， 所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)， |AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2， 所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)． 【总结】 利用坐标法解平面几何问题的步骤 (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系． 变式 已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD． 求证：|AC|＝|BD|． 【解析】证明：如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a－b，c)． ∴|AC|＝＝， |BD|＝＝． 故|AC|＝|BD|． 考点三：点到直线的距离 例3 求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4． 【解析】　(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝． (2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8． (3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1． 【总结】 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式； (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用； (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 变式 倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为__________________________． 【答案】x－y＋10＝0或 x－y－10＝0 【解析】因为直线斜率为tan 60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0．由直线与原点距离为5，得＝5⇒|b|＝10．所以b＝±10，所以所求直线方程为x－y＋