第1.5讲 平面上的距离（暑假预习讲义）新高二数学苏教版

第1.5讲 平面上的距离 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 两点间距离公式的应用 题型2 两点间距离公式求函数最值 题型3 点到直线的距离公式 题型4 到两点距离相等的直线 题型5 将军饮马求距离最值 题型6 定点到动直线的距离最值 题型7 两平行直线间的距离公式 题型8 已知距离求直线的平行线 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 两点间距离公式的应用 直接利用两点坐标求线段长度，或用于判断三点共线（距离之和相等）、等腰三角形（两边相等）、直角三角形（勾股逆定理）。易错：开方时忽略正负，或坐标代入错误。 2. 两点间距离公式求函数最值 将函数表达式转化为两点间距离（如根号下平方和），利用几何意义求最值（如三角形两边之和大于第三边）。易错：未能识别距离的几何背景，或最值取点位置判断错误。 3. 点到直线的距离公式 直接求点到直线的距离，或判断点与直线的位置关系（距离为零则点在直线上）。易错：公式中绝对值符号处理，或直线方程未化为一般式。 4. 到两点距离相等的直线 到两点距离相等的点在平行线或者过中点的线上。常考求轨迹方程或直线方程。 5. 将军饮马求距离最值 利用对称点将折线路径转化为直线段，求最短距离。常考求对称点、求最小值位置。 6. 定点到动直线的距离最值 动直线含参数，求定点到它的距离最大值。找到动直线所过的定点，则两定点直接的距离为所求的值。主要考察动直线问题。 7. 两平行直线间的距离公式 直接求两平行线距离。易错：两直线方程对应系数不一致时未化为标准形式。 8. 已知距离求直线的平行线 已知一条直线，求与其平行且距离为定值的直线（通常有两条，在两侧）。常设平行线方程，利用距离条件列绝对值方程求参数。易错：漏掉两侧的两条直线，或绝对值方程求解不全。 学习重点：熟练掌握两点间距离、点到直线距离、两平行线间距离的几何意义与使用条件；能灵活运用对称法、几何转化（如将军饮马）解决距离最值问题；理解距离公式中绝对值与平方根的运算含义。 学习难点： 距离最值问题中正确识别几何背景并选择合适的转化策略；将军饮马中对称点的构造及对称轴的选择；已知距离求平行线时，参数解的两侧性常被忽略；含参动直线距离最值中参数范围与几何约束的配合分析。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 距离公式 1、两点间的距离公式 设，则 2、点到直线的距离公式 设，，则点到直线的距离． 3、两平行线间距离公式 ，，则的距离为． 即时即练（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 【答案】C 【分析】由两点间距离公式即可求解. 【详解】由两点间距离公式可得. 故选：C 【易错提醒】 1、用距离公式时，直线方程必须先化为一般式，否则公式不适用； 2、点到直线距离公式的分子要加绝对值，分母不能漏掉根号； 3、平行线间距离需保证两方程 A,B 系数一致，再代入公式。 4、计算时注意开方与平方的符号，避免漏解。 知识点02 将军饮马求最值 当定点分布在动点所在轨迹的两侧时，可以构造对称，运用将军饮马来求距离的最值。 A、B在直线同侧时，|AP|+|BP|的最小值 |AP|-|BP|的最大值 即时即练（25-26高二上·全国·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 【答案】5 【分析】确定点关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【详解】若是关于的对称点， 则， 设饮马点为，如下图示， 由图知：， 当且仅当共线时等号成立， 所以. 故答案为：5 【方法总结】 将军饮马核心是利用对称将动点两侧的定点之一对称到另一侧，使折线路径转化为两点间线段，最小值即为该线段长度。注意对称轴的选择（通常为动点所在直线），且要确认最值点是否在限定范围内。 题型1 两点间距离公式的应用 【例1】（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 【例2】（25-26高二上·河北·阶段检测）从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】由光的反射原理可知，点关于轴的对称点到点的距离即为光线从到所经过的路程. 【详解】由光的反射原理可知，可作点关于轴的对称点，连接， 则，光线从到所经过的路程为. 故选：D. 【技巧归纳】 两点间距离公式 的核心应用是求线段长度、判断三角形形状（如等腰、直角）等。使用时注意开方取非负值，并灵活利用完全平方简化计算。 【变式1-1】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【分析】利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【分析】根据两点间的距离公式即可得． 【详解】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 题型2 两点间距离公式求函数最值 【例1】（25-26高二上·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【答案】B 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的最小值，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确， 因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误. 故选：B. 【例2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 【技巧归纳】 将函数化为两点间距离形式（如配凑根号为），利用几何意义（如动点到定点距离和差）转化为“将军饮马”或三角形不等式求最值。注意要确保代数变形等价，并验证最值条件对应的点是否在定义域内。 【变式2-1】（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据代数式的几何意义作图求解. 【详解】表示点到点的距离与到点的距离之差. 如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用两点间的距离公式，结合几何意义求出的最小值；变形，再利用几何意义求出其最小值. 【详解】由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当重合时取等号， 所以的最小值为；    由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当为线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为.    故答案为：； 题型3 点到直线的距离公式 【例1】（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点和直线，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由点到直线的距离公式可知， 点到直线的距离为. 故选：C. 【例2】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据点到直线的距离列方程求出的值即可． 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 解得或， 所以点的坐标为或． 故选：D． 【易错警示】 点到直线距离公式使用前须将直线方程化为一般式 ，注意分子要加绝对值，且分母不能漏掉根号；若直线斜率不存在或为0，也可直接利用几何意义快速求解。 【变式3-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式，即得解 【详解】由点到直线的距离公式得，即， 又，所以． 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据两点距离，以及点到直线的距离公式，列出三角形的面积，即可求解. 【详解】因为，所以直线AB的方程为：，即. 所以 到直线 的距离，， 所以，代入得：. 化简得：，解得 或 . 故选：C 题型4 到两点距离相等的直线 【例1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【答案】D 【分析】 利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即， 解得或 故选：D. 【例2】（多选）（25-26高二下·浙江·开学考试）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【分析】利用点到直线的距离公式为，再解方程即可求解. 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 【技巧归纳】 已知两定点到含参直线距离相等求参数，核心是利用距离公式建立绝对值方程，分别对应“直线过中点”和“直线与两点连线平行”两种情形，解出参数并验证是否满足题意。注意排除使分母为零或两直线重合的增根。 【变式4-1】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式求解. 【详解】到直线：的距离为， 到直线：的距离为， ，两点到直线：的距离相等， ，，， ，或， 或. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二下·河南新乡·期中）已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式将方程有两组实数解问题转化为判断定点到动直线的距离等于定长的直线条数，进而求解即可. 【详解】不妨令，此时有， 所以， 即点与点到直线的距离相等，且有且仅有两条这样的直线． 此时或重合或者过中点． 又，当过中点时，，当时，与为同一条直线； 当时，， 当时，有4条直线满足条件（与平行2条，过中点2条），不合题意； 当时，有3条直线满足条件（与平行2条，过中点1条），不合题意； 所以要有且仅有两条直线，必然有， 由于不过原点，则过原点且与平行时只有一条，直线，则， 所以的取值范围为． 题型5 将军饮马求距离最值 【例1】（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求点关于直线的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 故选：C. 【例2】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，将问题转化为的最小值即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则与已知直线垂直，且的中点在已知直线上， 即，解得，即， 由得， 而，当且仅当三点共线时，取得最小值， 即取得最小值. 如图，    所以. 故答案为：. 【技巧归纳】 利用对称将折线路径“拉直”，核心是作定点关于动点所在直线（或对称轴）的对称点，将问题转化为两点间线段最短。注意对称轴的选择，确保最值点落在限定范围内，并验证取等条件。 【变式5-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知实数满足，则的最小值为________ 【答案】 【分析】表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值，即可求解． 【详解】， ， 则表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值， 如图所示： 设点关于直线的对称点为， 得，解得， 得， 则 ， 等号成立时，三点共线， 故答案为： 【变式5-2】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：.    题型6 定点到动直线的距离最值 【例1】（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得. 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 【例2】（2026高三·全国·专题练习）点到直线的最大距离是______． 【答案】 【分析】分析直线恒过定点，进而利用几何关系结合两点间距离公式求解最大距离. 【详解】由，得，对任意， 当时，恒成立，即直线恒过定点. 设点到直线的距离，满足：， 当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为. ， 因此点到直线的最大距离为. 【技巧归纳】 定点到动直线距离最值，关键是将动直线转化为过定点的直线系，利用几何意义（如点到直线距离公式）转化为定点到某定点的距离问题。注意直线斜率不存在时的特殊情况。 【变式6-1】（25-26高二上·山东淄博·期中）点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点，则该定点到点A的距离即为点A到直线的距离的最大值. 【详解】由，得. 当时，，所以直线恒过定点. 所以. 由点到线的距离性质可知，点到直线的距离的最大值 即为点到定点的距离，等于. 故答案为：.    【变式6-2】（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 题型7 两平行直线间的距离公式 【例1】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 【例2】（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意得，解得， 当时，不重合，故， 可化为， 所以与的距离为. 【技巧归纳】 两平行直线间距离公式使用前必须将两方程化为系数 相同的一般式 。​ 注意若两直线斜率存在，也可转化为斜截式，利用纵截距差计算。 【变式7-1】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知实数满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为两条平行直线间距离的求解问题，利用公式即可求得结果. 【详解】的几何意义为直线上的点到直线上的点的距离的平方， 直线与直线平行， ，的最小值为. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高二上·江苏泰州·期中）直线：与：上各有一动点、，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因两条直线平行，得的最小值就是两条平行线间的距离可得. 【详解】由直线：与：，，所以. 所以的最小值就是两条平行线间的距离，. 故选：C. 题型8 已知距离求直线的平行线 【例1】（多选）（25-26高二上·江苏连云港·期中）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设与直线平行的直线方程为，，然后由平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 【例2】（多选）（25-26高二·全国·寒假作业）到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设出该直线方程后，利用平行线间距离公式计算即可得. 【详解】设该直线为， 则有，化简得，则或， 故该直线为或. 故选：AC. 【技巧归纳】 利用平行线间距离等于已知值，解出直线的两个值（分别位于已知直线两侧），得到两条对称的直线。可以根据平行设直线的一般式，代入距离方程求出参数。 【变式8-1】（多选）（25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据直线平行可设直线的方程为，结合两平行线间距离公式运算求解即可. 【详解】因为，且直线的方程为， 设直线的方程为，， 根据题意得，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：BC． 【变式8-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点的坐标分别为为动点，且的面积总为10，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点到直线上的距离，再由直线平行即可求解. 【详解】， 设点到直线上的距离为，则，则， 直线的方程为，即， 所以动点的轨迹是与平行的直线， 设直线方程为，则4， 解得或12，则动点的轨迹方程为或． 故选：D． 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线垂直得出直线，再应用点到直线距离计算求解. 【详解】直线与直线相互垂直，所以直线的斜率为， 直线过点且斜率为，则直线， 则原点到直线的距离为. 故选：C. 2．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】设，，，问题转化为直线上的动点到直线和点的距离之和的最小值，数形结合求最小值即可. 【详解】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和，    令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 选择：D 3．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】因为，则，解得，即直线的方程为，可化为， 故与的距离为. 4．（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目条件计算得两条直线平行，的最小值就是两条平行线间的距离. 【详解】直线 ， ，即的最小值为这两条平行线间的距离， 设为之间的距离，则. 故选：C 5．（25-26高二上·江苏常州·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 【答案】A 【分析】利用两直线平行的关系和两平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，它们之间的距离是， 所以，解得， 即直线为：，即， 又两条直线之间的距离是， 所以有：，解得：或（舍去）， 所以． 6．（多选）（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设直线的方程为，由平行线间距离公式即可求解. 【详解】设直线的方程为， 则间的距离， 解得，或， 所以直线的方程为或. 故选：AB. 7．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 【答案】，，（只需写出其中一个值即可） 【分析】化简得到，然后根据情况，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得，明显地，，整理得，又由， 看成有且仅有三条直线满足，和到直线：（不过原点）的距离均为， 由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线， 以及与直线平行的两条直线和 （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等， 注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去， 设点到的距离为， ①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为， 此时，，符合； ②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为， 此时，，符合； 综上，满足题意的实数为，，； 故答案为：，，. 8．（25-26高二上·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【答案】 【分析】题空1：根据两直线平行的系数关系，可建立关于的方程并求解； 题空2：利用两平行直线间的距离公式计算最小值. 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 9．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）已知实数满足，则最小值为_______. 【答案】 【分析】利用两点距离公式，转化问题式为动点到两定点距离之和的最小值，根据将军饮马模型计算即可. 【详解】由， 即转化问题为：直线上一动点到点的距离之和最小，    如图所示，设直线与轴分别交于点，则， 由直线方程可得其倾斜角为，易知是等腰直角三角形， 设关于直线的对称点为，连接， 则三点共线，易知也是等腰直角三角形，所以， 故， 当且仅当重合时取得最小值. 故答案为： 10．（25-26高二上·江苏·阶段检测）若动点，分别在直线：与：上移动，则的中点到原点的距离的最小值为______. 【答案】 【分析】根据动点，满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【详解】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线：与：上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离. 故答案为： 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1.5讲 平面上的距离 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 两点间距离公式的应用 题型2 两点间距离公式求函数最值 题型3 点到直线的距离公式 题型4 到两点距离相等的直线 题型5 将军饮马求距离最值 题型6 定点到动直线的距离最值 题型7 两平行直线间的距离公式 题型8 已知距离求直线的平行线 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 两点间距离公式的应用 直接利用两点坐标求线段长度，或用于判断三点共线（距离之和相等）、等腰三角形（两边相等）、直角三角形（勾股逆定理）。易错：开方时忽略正负，或坐标代入错误。 2. 两点间距离公式求函数最值 将函数表达式转化为两点间距离（如根号下平方和），利用几何意义求最值（如三角形两边之和大于第三边）。易错：未能识别距离的几何背景，或最值取点位置判断错误。 3. 点到直线的距离公式 直接求点到直线的距离，或判断点与直线的位置关系（距离为零则点在直线上）。易错：公式中绝对值符号处理，或直线方程未化为一般式。 4. 到两点距离相等的直线 到两点距离相等的点在平行线或者过中点的线上。常考求轨迹方程或直线方程。 5. 将军饮马求距离最值 利用对称点将折线路径转化为直线段，求最短距离。常考求对称点、求最小值位置。 6. 定点到动直线的距离最值 动直线含参数，求定点到它的距离最大值。找到动直线所过的定点，则两定点直接的距离为所求的值。主要考察动直线问题。 7. 两平行直线间的距离公式 直接求两平行线距离。易错：两直线方程对应系数不一致时未化为标准形式。 8. 已知距离求直线的平行线 已知一条直线，求与其平行且距离为定值的直线（通常有两条，在两侧）。常设平行线方程，利用距离条件列绝对值方程求参数。易错：漏掉两侧的两条直线，或绝对值方程求解不全。 学习重点：熟练掌握两点间距离、点到直线距离、两平行线间距离的几何意义与使用条件；能灵活运用对称法、几何转化（如将军饮马）解决距离最值问题；理解距离公式中绝对值与平方根的运算含义。 学习难点： 距离最值问题中正确识别几何背景并选择合适的转化策略；将军饮马中对称点的构造及对称轴的选择；已知距离求平行线时，参数解的两侧性常被忽略；含参动直线距离最值中参数范围与几何约束的配合分析。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 距离公式 1、两点间的距离公式 设，则 2、点到直线的距离公式 设，，则点到直线的距离． 3、两平行线间距离公式 ，，则的距离为． 即时即练（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 【易错提醒】 1、用距离公式时，直线方程必须先化为一般式，否则公式不适用； 2、点到直线距离公式的分子要加绝对值，分母不能漏掉根号； 3、平行线间距离需保证两方程 A,B 系数一致，再代入公式。 4、计算时注意开方与平方的符号，避免漏解。 知识点02 将军饮马求最值 当定点分布在动点所在轨迹的两侧时，可以构造对称，运用将军饮马来求距离的最值。 A、B在直线同侧时，|AP|+|BP|的最小值 |AP|-|BP|的最大值 即时即练（25-26高二上·全国·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 【方法总结】 将军饮马核心是利用对称将动点两侧的定点之一对称到另一侧，使折线路径转化为两点间线段，最小值即为该线段长度。注意对称轴的选择（通常为动点所在直线），且要确认最值点是否在限定范围内。 题型1 两点间距离公式的应用 【例1】（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·河北·阶段检测）从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 【技巧归纳】 两点间距离公式 的核心应用是求线段长度、判断三角形形状（如等腰、直角）等。使用时注意开方取非负值，并灵活利用完全平方简化计算。 【变式1-1】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【变式1-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 题型2 两点间距离公式求函数最值 【例1】（25-26高二上·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【例2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 将函数化为两点间距离形式（如配凑根号为），利用几何意义（如动点到定点距离和差）转化为“将军饮马”或三角形不等式求最值。注意要确保代数变形等价，并验证最值条件对应的点是否在定义域内。 【变式2-1】（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 【变式2-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 题型3 点到直线的距离公式 【例1】（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点和直线，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【易错警示】 点到直线距离公式使用前须将直线方程化为一般式 ，注意分子要加绝对值，且分母不能漏掉根号；若直线斜率不存在或为0，也可直接利用几何意义快速求解。 【变式3-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【变式3-2】（25-26高二上·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型4 到两点距离相等的直线 【例1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【例2】（多选）（25-26高二下·浙江·开学考试）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【技巧归纳】 已知两定点到含参直线距离相等求参数，核心是利用距离公式建立绝对值方程，分别对应“直线过中点”和“直线与两点连线平行”两种情形，解出参数并验证是否满足题意。注意排除使分母为零或两直线重合的增根。 【变式4-1】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【变式4-2】（25-26高二下·河南新乡·期中）已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 题型5 将军饮马求距离最值 【例1】（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【例2】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. 【技巧归纳】 利用对称将折线路径“拉直”，核心是作定点关于动点所在直线（或对称轴）的对称点，将问题转化为两点间线段最短。注意对称轴的选择，确保最值点落在限定范围内，并验证取等条件。 【变式5-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知实数满足，则的最小值为________ 【变式5-2】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 题型6 定点到动直线的距离最值 【例1】（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【例2】（2026高三·全国·专题练习）点到直线的最大距离是______． 【技巧归纳】 定点到动直线距离最值，关键是将动直线转化为过定点的直线系，利用几何意义（如点到直线距离公式）转化为定点到某定点的距离问题。注意直线斜率不存在时的特殊情况。 【变式6-1】（25-26高二上·山东淄博·期中）点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 【变式6-2】（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 题型7 两平行直线间的距离公式 【例1】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【技巧归纳】 两平行直线间距离公式使用前必须将两方程化为系数 相同的一般式 。​ 注意若两直线斜率存在，也可转化为斜截式，利用纵截距差计算。 【变式7-1】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知实数满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·江苏泰州·期中）直线：与：上各有一动点、，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型8 已知距离求直线的平行线 【例1】（多选）（25-26高二上·江苏连云港·期中）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（多选）（25-26高二·全国·寒假作业）到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 利用平行线间距离等于已知值，解出直线的两个值（分别位于已知直线两侧），得到两条对称的直线。可以根据平行设直线的一般式，代入距离方程求出参数。 【变式8-1】（多选）（25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点的坐标分别为为动点，且的面积总为10，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C．或 D．或 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 3．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏常州·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 6．（多选）（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 8．（25-26高二上·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 9．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）已知实数满足，则最小值为_______. 10．（25-26高二上·江苏·阶段检测）若动点，分别在直线：与：上移动，则的中点到原点的距离的最小值为______. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $