第04讲 两条直线的交点-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第04讲 两条直线的交点 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．　 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 知识点一 两条直线的位置关系 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示． 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点二 两条直线的方程的解 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解． 知识点三 过两直线交点的直线系方程 1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． 2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. 3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 考点一：两条直线的交点问题 例1 分别判断下列直线l1与l2是否相交．如果相交，求出交点的坐标． (1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0； (3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0． 【解析】(1)解方程组得 所以l1与l2相交，交点是M． (2)解方程组 ①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2． (3)解方程组 ①×2得6x＋8y－10＝0． ①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． 【总结】 两条直线相交的判定方法 方法1 联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交 方法2 两直线的斜率都存在，且斜率不相等 方法3 两直线的斜率一个存在，另一个不存在 变式 判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0． 【解析】(1)解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组 ①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2． 考点二：求过两条直线交点的直线问题 例2 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程． 【解析】法一：解方程组得交点坐标为(－1,2)． 又由直线l3的斜率为，得直线l的斜率为－， 则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0． 法二：由于直线l⊥l3，故直线l满足5x＋3y＋C＝0．又直线l过直线l1，l2的交点(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，故直线l的方程为5x＋3y－1＝0． 【总结】 过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程； (2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． 变式 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且平行于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程． 【解析】解方程组得交点坐标为(－1,2)， 又由直线l3的斜率为得直线l的斜率为， 故直线l的方程为y－2＝(x＋1)， 即3x－5y＋13＝0． 考点三：直线恒过定点问题 例3 求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点． 【解析】[证明]　法一(特殊值法)：取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0， 取λ＝1，得到直线l2：x＝－3， 故l1与l2的交点为P(－3,3)． 将点P(－3,3)代入方程左边， 得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3， ∴点(－3,3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上． ∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)． 法二(分离参数法)：由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3， 整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0． 则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点． 由方程组得 ∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)． 【总结】 解决过定点问题常用的三种方法 (1)特殊