第03讲 两条直线的平行与垂直-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第03讲 两条直线的平行与垂直 1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．　 2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．　 3．能应用两条直线平行或垂直解决实际问题． 知识点一 两条不重合直线平行的判定 两条不重合直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇐两直线斜率 都不存在 图示 知识点二 两条直线垂直的判定 两条直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线 斜率都存在)⇔ k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2 的斜率为0⇒l1⊥l2 知识点三 两条直线的平行与垂直 1．l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件 (1)两条直线的斜率都存在； (2)l1与l2不重合． 2．l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件 (1)两条直线的斜率都存在； (2)k1≠0且k2≠0． 考点一：两条直线平行的判定 例1 判断下列各组直线是否平行，并说明理由． (1)l1经过点A(2,3)，B(－4,0)，l2经过点M(－3,1)，N(－2,2)； (2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)； 【解析】设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2． (1)k1＝＝，k2＝＝1， 所以k1≠k2且k1·k2≠－1，从而l1与l2既不平行又不垂直． (2)因为k1＝－10，k2＝＝， 所以k1·k2＝－1，从而l1与l2垂直． 变式 1．判断下列各题中直线l1与l2是否平行． (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． 【解析】(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，k1＝＝1，k2＝＝． ∵k1≠k2，∴l1与l2不平行． (2)∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，∴l1∥l2． 考点二：两条直线垂直的判定 例2 判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由． (3)l1：3x－2y－7＝0，l2：2x＋3y－1＝0； (4)l1：y－2＝0，l2：y＋1＝0． 【解析】设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2． (3)因为k1＝，k2＝－， 所以k1·k2＝－1从而l1与l2垂直． (4)因为k1＝k2＝0， 从而l1∥l2． 【总结】 判断两条不重合直线是否平行或垂直的步骤 变式 (1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)； (2)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10，40)． 【解析】设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， (1)k1＝＝，k2＝＝，k1k2＝1， ∴l1与l2不垂直． (2)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2． 考点三：平行与垂直在平面几何中的应用 例3 已知A(－4,3)，B(2，5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状． 【解析】由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示， 由斜率公式可得kAB＝＝， kCD＝＝，kAD＝＝－3， kBC＝＝－． 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， 所以AB∥CD．由kAD≠kBC， 所以AD与BC不平行． 又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1， 所以AB⊥AD， 故四边形ABCD为直角梯形． 【总结】 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 变式 已知四边形MNPQ的顶点坐标为M(1,1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2,2)，求证：四边形MNPQ为矩形． 【解析】证明：∵kMN＝＝－1，kPQ＝＝－1， ∴MN∥PQ． 又∵kMQ＝＝1，kNP＝＝1， ∴MQ∥NP，∴四边形MNPQ为平行四边形． 又kMN·kMQ＝－1，∴MN⊥MQ， ∴四边形MNPQ为矩形． 考点四：由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 例4 已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值． (1)l1∥l2； (2)l1⊥l2． 【解析】法一：由题可知A1＝a，B1＝2，C1＝－3， A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－a． (1)当l1∥l2时， 解得a＝2． (2)当l1⊥l2时，A1A2＋B1B2＝0， 即3a＋2(a＋1)＝0，解得a＝－． 法二：直线l1可化为y＝－x＋． (1)当a＝－1时，l2：x＝－与l1不平行； 当a≠－1时，直线l2：y＝－x＋， ∵l1∥l2，∴－＝－且≠， 解得a＝2． (2)当a