第02讲 直线的方程-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第02讲 直线的方程 1．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程．　 2．会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题． 3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程．　 4．了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围． 5．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式．　 6．会进行直线方程的五种形式间的转化． 知识点一 直线的点斜式方程与斜截式方程 名称 条件 方程 图形 点斜式 直线l过定点P1(x1，y1)，斜率为k y－y1＝k(x－x1) 斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距) y＝kx＋b 知识点二 直线的两点式方程与截距式方程 两点式 截距式 条件 直线l经过两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 直线l在x轴上截距为a，在y轴上截距为b 图形 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 知识点三 直线的一般方程 1．定义：关于x，y的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程． 2．系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； 当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． 考点一：求直线的点斜式方程 例1 已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，A＝60°，B＝45°，求： (1)AB边所在直线的点斜式方程； (2)AC边所在直线的点斜式方程． 【解析】(1)如图所示， 因为A(1,1)，B(5,1)，所以AB∥x轴， 所以AB边所在直线的方程为y＝1． (2)因为A＝60°， 所以kAC＝tan 60°＝， 所以直线AC的方程为y－1＝(x－1)． 【总结】 直线的点斜式方程的求解策略 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)； (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 变式 （1）已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，A＝60°，B＝45°，求BC边所在直线的点斜式方程． 【解析】因为B＝45°，所以kBC＝tan 135°＝－1， 故BC边所在直线的点斜式方程为y－1＝－(x－5)． （2）已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，A＝60°，B＝60°，求直线BC的点斜式方程． 【解析】因为B＝60°，所以kBC＝tan 120°＝－， 故直线BC的点斜式方程为y－1＝－(x－5)． 考点二：直线的斜截式方程 例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3． 【解析】(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5． (2)由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2． (3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝．由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3． 【总结】 直线的斜截式方程的求解策略 (1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别； (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断． 变式 求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线方程． 【解析】∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝． ∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y＝x－5． 考点三：直线的两点式方程 例3 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中． (1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 【解析】(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， ∴由两点式得＝， 即2x＋5y＋10＝0． 故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)． (2)设BC的中点为M(x0，y0