第01讲 直线的斜率与倾斜角-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第01讲 直线的斜率与倾斜角 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．　 2．理解直线的斜率和倾斜角的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 知识点一 直线的斜率 1．直线l的斜率对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，则是一个定值，我们将这个定值称为直线l的斜率，即k＝(x1≠x2)． 2．对斜率定义的理解 对于与x轴不垂直的直线PQ，它的斜率也可以看做是k＝＝＝． 知识点二 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角，称为这条直线的倾斜角． 2．倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°． 3．倾斜角与斜率的关系 当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足：k＝tan_α(α≠90°)． 考点一：求直线的斜率 例1 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)A(2,3)，B(4,5)； (2)C(－2,3)，D(2，－1)； (3)P(－3,1)，Q(－3,10)． 【解析】　(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1． (2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1． (3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在． 【总结】 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 1．运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； 2．斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． 变式 直线过两点A(1,3)，B(2,7)，求直线的斜率． 【解析】由题意知两点的横坐标不相等，则直线存在斜率，根据直线的斜率公式得k＝＝4． 考点二：直线的倾斜角 例2 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α＋45°或α－135° 【答案】D 【解析】由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°．而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)． 【总结】 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角； (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°； ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°． 变式 如图，直线l的倾斜角为(　　) A．60° B．120° C．30° D．150° 【答案】D　 【解析】由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°． 考点三：直线的倾斜角、斜率的应用 例3 已知点A(2,1)，B(－2,2)，若直线l过点P且总与线段AB有交点，求直线l的斜率k的取值范围． 【解析】　当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时，l的斜率逐渐变大直至垂直于x轴， 当直线l垂直于x轴时，l无斜率，再转动时斜率为负值并逐渐变大直到PB的位置， 所以直线l的斜率k≥kPA＝或k≤kPB＝－， 即直线l的斜率k的取值范围为∪． 【总结】 1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用k＝tan α(α≠90°)求解． 2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． 3．涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解． 4．在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记． 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 变式 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【解析】(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝．直线AC的斜率kAC＝＝．故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为． (2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是． 1．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　　) A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0) C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5) 【答案】D 【解析】　D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在． 2．若直线l经过点M(2,3)，N(4,3)，则直线l的倾斜