专题08 幂函数与二次函数（6种考向）-2024年新高考数学一轮复习讲义之通性通解总结与命题方向全归类（新高考专用）

专题08 幂函数与二次函数 【命题方向目录】 命题方向一：幂函数的定义及其图像 命题方向二：幂函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性）的综合应用 命题方向三：二次方程的实根分布及条件 命题方向四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 命题方向五：二次函数的单调性问题 命题方向六：二次函数绝对值的最大值的最小值问题 【2024年高考预测】 2024年高考仍重点考查二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）． 【知识点总结】 1、幂函数的定义 一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数． 2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数． （3）幂函数的图象和性质 3、常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 4、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程． （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标． 5、二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为． （1）单调性与最值 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时， 【方法技巧与总结】 二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处． 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则． 【典例例题】 命题方向一：幂函数的定义及其图像 例1．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·山东德州·高三统考期末）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 例3．（2023·全国·高三专题练习）当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（   ） A． B． C．或 D．以上都不正确 变式1．（2023·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 变式2．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【通性通解总结】 确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的. 命题方向二：幂函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性）的综合应用 例4．（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设，若幂函数定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（    ） A．1 B．4 C．7 D．10 例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例6．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像过点，则 的值域是（   ） A． B． C． D． 变式4．（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 变式5．（2023·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 变式6．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式8．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（    ） A． B． C． D． 变式10．（2023·全国·高三专题练习）满足的实数m的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（    ） A．恒大