专题09 指数与指数函数（6种考向）-2024年新高考数学一轮复习讲义之通性通解总结与命题方向全归类（新高考专用）

专题09 指数与指数函数 【命题方向目录】 命题方向一：指数幂的运算 命题方向二：指数方程、指数不等式 命题方向三：指数函数的概念、图像及性质 命题方向四：比较指数式的大小 命题方向五：指数函数中的恒成立问题 命题方向六：指数函数性质的综合问题 【2024年高考预测】 2024年高考仍将重点考查指数与指数函数，考查利用指数运算及利用指数函数的图像与性质比较大小、处理单调性、解不等式等问题，难度为中档题． 【知识点总结】 1、指数及指数运算 （1）根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． （2）根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数． 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数． （3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘． （4）有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． （5）有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 2、指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 【方法技巧与总结】 1、指数函数图象的关键点，， 2、如图所示是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则，即在第一象限内，指数函数（且）的图象越高，底数越大． 3、指数式大小比较方法 ①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较． ②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较． ③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较． ④比较法：有作差比较与作商比较两种 【典例例题】 命题方向一：指数幂的运算 例1．（2023·全国·高三专题练习）_________. 例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，求__________ 例3．（2023·全国·高三专题练习）________. 变式1．（2023·全国·高三专题练习）__________． 变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则=__________ 变式3．（2023·全国·高三专题练习）若，则______ 变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【通性通解总结】 （1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． （2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 命题方向二：指数方程、指数不等式 例4．（2022秋·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知和是方程的两根，则_________. 例5．（2022秋·上海虹口·高三华东师范大学第一附属中学校考阶段练习）若、为方程的两个实数解，则______． 例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，则方程的解是________． 变式5．（2022·全国·高三专题练习）方程的解集为________ 变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________． 变式7．（2023·上海青浦·统考一模）不等式的解集为______． 变式8．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为_________． 变式9．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________. 变式10．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）请写出满足方程的一组实数对：______． 【通性通解总结】 利用指数的运算性质解题．对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解．形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解． 命题方向三：指数函数的概念、图像及性质 例7．（2023·辽宁鞍山·校联考一模）函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 例8．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则=（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例9．（2023春·河北·高三统考学业考试）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 变式11．（2023·河北·高三学业考试）已知函数（，且）的图象经过点，则（    ） A． B．2 C． D．4a的值为 变式12．（2023·天津