第02讲 解一元二次方程（直接开平方、配方法、配方法的应用）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第02讲解一元二次方程（直接开平方、配方法、配方法的应用） 【知识梳理】 一．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 . 要点诠释： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 二．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 　　将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　①把原方程化为的形式； 　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 三、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 【考点剖析】 题型一、用直接开平方法解一元二次方程 例1.解方程（1）3x2-24=0； (2)5(4-3n)2=320． 例2.解方程(x-3)2=49． 【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根： (1)x2=361； 　　 　 (2)2y2-72=0； 　 (3)5a2-1=0；　　　 (4)-8m2+36=0． 【变式2】解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．　 题型二、用配方法解一元二次方程 例3.用配方法解方程x2-7x-1＝0． 【变式】用配方法解方程. (1)x2-4x-2＝0； 　 (2)x2+6x+8＝0. 例4.用配方法解方程：． 【变式】 用配方法解方程 （1） （2） 题型三、配方法在代数中的应用 例5．若代数式，，则的值（　　） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是负数 D．一定不是正数 例6．用配方法说明： 代数式 x2+8x+17的值总大于0. 【变式1】求代数式 x2+8x+17的最小值 【变式2】用配方法证明的值小于0． 【变式3】求证：代数式3x2﹣2x+4的值不小于． 例7.已知，求的值． 例8.若实数满足，则的值是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【变式】（1）的最小值是 ；（2）的最大值是 . 例9. 分解因式：． 【过关检测】 一、单选题 1．（广东清远·九年级统考期末）将方程配方后，原方程变形为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河北衡水·统考二模）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（2023·贵州贵阳·统考一模）解一元二次方程时，配方后得到方程，则c等于（    ） A．6 B．4 C．2 D． 4．（2023·北京东城·统考一模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（   ） A．