22.2.1直接开平方法和因式分解法课件2022-2023学年华东师大版九年级数学上册

22.2.1 直接开平方法和因式分解法 九年级上 1.会运用开平方法解形如 x2 = p 或 (x+n)2 = p (p≥0) 的方程. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. 3.了解直接开平方法及因式分解法解一元二次方程的解题步骤. 学习目标 重点 重点 重点 小唯唯家装修房子，妈妈说：“小唯唯的卧室地形为正方形，约 16 平方米”，爸爸立马说：“原来地长为 4 米”. 思考：爸爸是怎么知道卧室的地长的？ 新课引入 试一试 求等式中的x，以解下列方程： 你是怎样解的？ 一 直接开平方法解方程 对于题(1)，有这样的解法： 方程 x2 = 4， 意味着x是4的平方根，所以 即 x = ±2. 这里得到了方程的两个根，通常也表示成 x1 = 2，x2 = -2. 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 新知学习 例1 用直接开平方法解下列方程． (1) x2 - 2 = 0； (2) 16x2 - 25 = 0. 解：(1) 移项，得x2 = 2， 直接开平方，得 x = ± ， 即x1 = ，x2 = - . 解：(2) 移项，得 16x2 = 25， 方程两边都除以 16，得x2 = ， 直接开平方，得 x = ± 即x1 = ，x2 = - . (2)当 p = 0 时，方程(I)有两个相等的实数根 = 0; (3)当 p < 0 时，因为任何实数 x，都有 x2≥0，所以方程 (I) 无实数根. 一般的，对于可化为方程 x2 = p ( p 是常数 )， (I) (1)当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不等的实数根 归纳 问题： 对照上面的方法，你认为可以怎样解方程(x+3)2=5？ 由方程 x2 = 25 得 x = ±5. 由此想到：由方程 (x+3)2 = 5 ， ② 得 于是方程 (x+3)2 = 5 的两个根为 即 ③ 上面的解法中 ，由方程 ② 得到 ③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程 ② 转化为我们会解的方程了. 归纳 针对训练 (1) x2 - 900=0. 解：(1)移项，得 x2 = 900. 直接开平方，得 x = ±30， ∴x1=30，x2=－30. 思路点拨：通过移项把方程化为 x2 = p 的形式，然后直接开平方即可求解． 1. 利用直接开平方法解下列方程： 解：（2）移项，得 12(3-2x)2 = 3， 两边都除以 12，得 (3-2x)2 = 0.25. ∵3-2x 是 0.25 的平方根， ∴3-2x = ±0.5. 即 3 - 2x = 0.5，3-2x = -0.5， ∴ x1= ， （2）12(3－2x)2－3 = 0. 思路点拨：先将 -3 移到方程的右边，再将等式两边同时除以 12，再将 (3－2x) 看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解. x2= 二、因式分解法解一元二次方程 解：将方程左边用平方差公式分解因式，得 (x - 1)(x+1)=0， 必有 x - 1= 0 或 x + 1=0. 分别解这两个一元一次方程，得 x1＝1，x2＝-1. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 解方程： 还可以用什么方法来解呢？ 例2 解下列方程： 解：(1) 方程左边分解因式，得 x(3x＋2) = 0. 分解 x = 0或 3x＋2 = 0. 得 x1 = 0， (2) x2 = 3x； (1) 3x2 + 2x = 0； 解：(2) 移项，得 x2－3x = 0. 方程左边分解因式，得 x(x－3) = 0. 所以 x = 0或 x - 3 = 0. 得 因式分解法的基本步骤 一移——方程的右边 = 0； 二分——方程的左边因式分解； 三化——方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程两个解. 因式分解法的依据： 如果 a·b=0， 那么 a = 0 或 b = 0． 简记口诀： 右化零 左分解 两方程 各求解 探究 小张在做例2(2)