21.2.3　二次根式的除法　课件　2022—2023学年华东师大版数学九年级上册

21.2.3 二次根式的除法 九年级上 1. 掌握二次根式的除法法则； 2. 掌握商的算术平方根的性质； 3. 理解最简二次根式的概念； 4. 熟练应用除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的运算和化简. 学习目标 难点 重点 重点 思考：两个二次根式相乘，是怎么学习探究的？是怎样进行运算呢？积的算术平方根等于什么？类比上一节方法，进入下面讨论． 讨论：两个二次根式相除，怎样进行运算呢？商的算术平方根又等于什么？试参考上面的研究，和同伴讨论，提出你的见解． 新课引入 一、二次根式的除法法则及运算 计算下列各式，写出计算结果， 探究 （2） 　　　　　　　　　 _______； _______； _______； _______； 你发现了 什么规律？ 新知学习 一般地，有 这就是说，两个算术平方根的商， . 等于它们被开方数的商的算术平方根 这里为什么要求 a≥0，b>0？ 归纳 例1 计算： 解： (1) ； (2) 题(2)也可先将分子化简为 从而容易算得结果． 针对训练 1. 计算： (1) 解： (1) (2) (2) 注意分母里的系数 -2 的处理办法. 二、商的算术平方根的性质及化简 公式的逆用 我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简. 语言表述：商的算术平方根，等于_______________________________ _____________________. 被除式的算术平方根除以 除式的算术平方根. 例2 化简 使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母． 方法一： 这里，二次根式 的被开方数中含有分母，通常可利用分数 ( 或分式 ) 的基本性质将分母“配”成完全平方，再“开方”出来． 二次根式的除法，要划去分母中的根号，只要将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式就可以了.如例2还可以将分子、分母同乘以 ，也可以划去分母中的根式. 方法二： 这种把分母中的根号化去的过程. 称之为分母有理化. 例3 化简 使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母． 思路点拨：分母形式是“二次根式 数字”，要使分母中不含二次根式，可想到运用平方差公式化简. 分子分母同乘以 划去分母中二次根式 （1）要进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子和分母都乘什么，有时还要对分母进行化简； （2）有理化因式确定方法.如 有理化因式是它本身， 有理化因式是 . 归纳 针对训练 1. 化简 解： 三、最简二次根式的概念及判断 观察上面各数并思考： (1) 你觉得这些数能否再化简，它们已经是最简二次根式了吗？ (2) 这些结果有什么共同特点？你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简二次根式了？ 可以发现这些式子有如下两个特点：　　 1. 被开方数中不含分母； 2. 被开方数中所有因数 ( 或因式 ) 的幂的指数都小于 2． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 化简： 解： 针对训练 1.“一分”，即利用因数 (式) 分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数 (式) 的幂的乘积形式； 2.“二移”，即把能开得尽方的因数 (式) 用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置 上； 3.“三化”，即将分母有理化——化去被开方数中的分母． 归纳 将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤： 1.观察下列二次根式，回答下面问题． (1)化简，依次化为最简二次根式_____________________________； (2)化为最简二次根式后结果为整数的是________________. 随堂练习 2.计算： 解： 最简二次根式 除法法则 二次根式 的除法 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根. 商的算术平方 根的性质及化简 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中