专题06 函数的概念（8种考向）-2024年新高考数学一轮复习讲义之通性通解总结与命题方向全归类（新高考专用）

专题06函数的概念 【命题方向目录】 命题方向一：函数的概念 命题方向二：同一函数的判断 命题方向三：给出函数解析式求解定义域 命题方向四：抽象函数定义域 命题方向五：函数定义域的应用 命题方向六：函数解析式的求法 方向1．待定系数法（函数类型确定） 方向2．换元法或配凑法（适用于了型） 方向3．方程组法 方向4．求分段函数的解析式 方向5．抽象函数解析式 命题方向七：函数值域的求解 方向1．观察法 方向2．配方法 方向3．图像法（数形结合） 方向4．基本不等式法 方向5．换元法（代数换元与三角换元） 方向6．分离常数法 方向7．判别式法 方向8．单调性法 方向9．有界性法 方向10．导数法 命题方向八：分段函数的应用 方向1．求值问题 方向2．求参数问题 方向3．解不等式问题 【2024年高考预测】 2024年高考仍重点考查分段函数求值、不等式、方程问题，注意函数定义域、值域与最值方法的复习． 【知识点总结】 1、函数的概念 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应关系，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空数集到另一个非空数集的映射． （3）函数表示法：函数书写方式为，． （4）函数三要素：定义域、值域、对应关系． （5）相等函数：两个函数只有在定义域和对应关系都相同时，两个函数才相等． 2、函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【方法技巧与总结】 1、直线与函数的图象至多有1个交点． 2、在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3、分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 4、函数值域的求法主要有以下几种 （1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域． （2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域． （3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型． （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等． （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数． （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析． （7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）． （8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法． （9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法． （10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域． 【典例例题】 命题方向一：函数的概念 例1．（2023·全国·高三专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·山东潍坊·统考一模）存在函数满足：对任意都有（    ） A． B． C． D． 【通性通解总结】 利用函数概念判断 命题方向二：同一函数的判断 例4．（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 例5．（2023·全国·高三专题练习）下列每组中的函数是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 例6．（2023·上海奉贤·统考一模）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式3．（2023·广东·高三统考学业考试）下列函数中，与 是同一个函数的是（    ） A． B． C． D．