专题03 等式性质与不等式性质-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题03 等式性质与不等式性质 目录 题型一： 不等式的性质 4 题型二： 比较大小 6 题型三： 不等式范围求解 6 知识点总结 比较实数a，b大小的基本事实 (1)作差法 ①a－b>0⇔a>b； ②a－b＝0⇔a＝b； ③a－b<0⇔a<b. (2)作商法 ①>1(a∈R，b>0)⇔a>b(a∈R，b>0)； ②＝1(a∈R，b≠0)⇔a＝b(a∈R，b≠0)； ③<1(a∈R，b>0)⇔a<b(a∈R，b>0)． 等式的基本性质 (1)对称性：a＝b⇔b＝a； (2)传递性：a＝b，b＝c⇒a＝c； (3)可加性：a＝b⇔a±c＝b±c； (4)可乘性：a＝b⇒ac＝bc； (5)可除性：a＝b，c≠0⇒＝. 不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b<a；a<b⇔b>a 可逆 传递性 a>b，b>c⇒a>c；a<b，b<c⇒a<c 同向 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 同向同正 可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向，同正 可乘方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn 同正 可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 同正 【常用结论与知识拓展】 1.不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒<； ②a＜0＜b⇒＜； ③a>b>0，d>c>0⇒>； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数性质：<<(b－m>0)，即真分数越加越大，越减越小； ②假分数性质：<<(b－m>0)，即假分数越加越小，越减越大． 2.若a<x<b，c<y<d，则a－d<x－y<b－c. 3.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 例题精讲 不等式的性质 【要点讲解】(1)利用不等式的性质逐个验证; (2)利用特殊值法排除错误选项; (3)作差(商)法; (4)构造函数,利用函数的单调性; (5)利用基本不等式. （2022•西城区校级三模）已知，，且，则　　 A． B． C． D． （2023•吉林模拟）已知，则下列不等式不一定成立的是　　 A． B． C． D． （2023•阿拉善盟一模）已知，则下列不等式不成立的是　　 A． B． C． D． （2023•广陵区校级模拟）已知，，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． （2023•惠州模拟）已知实数，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． （2023•大同二模）已知，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． （2023•临高县模拟）给定下列四个命题：命题①，；命题②：；命题③：；命题④：．其中真命题的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 （2023•武汉模拟）下列不等式正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，，且，则 （2023•盱眙县校级四模）已知，给出下列不等式：①；②；③；④；其中正确的有　　 A．① B．② C．③ D．④ （2021秋•莒南县校级月考）已知糖水中含有糖，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大），根据这个事实，下列不等式中一定成立的有　　 A． B． C． D． 比较大小 【要点讲解】（1）做差法（2）做商法 已知，，，则，的大小关系为　　 A． B． C． D． 已知，，其中，则，的大小关系为　　 A． B． C． D．大小不确定 （2021秋•舒城县）已知，比较下列各题中两个代数式值的大小： （1）与； （2）与． （2021秋•江岸区校级月考）试比较下列各组式子的大小： （1）与，其中； （2）与，其中． 不等式范围求解 【要点讲解】1.求形如a-b的取值范围,要先求-b的取值范围,再加a的取值范围即为a-b的取值范围; 2.求形如的取值范围,要借助反比例函数的图象先求出的取值范围,再与a遵循“同向同正可乘性”的原则求出的取值范围; 3.已知M1<f1(a,b)<N1,M2<f2(a,b)<N2,求g(a,b)的取值范围步骤: (1)设g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b); (2)根据恒等变形求得待定系数p,q; (3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范围. （2022秋•魏县校级期中）已知，，则　　 A． B． C． D． （2021•鸡冠区校级三模）已知，，则的取值范围是 　 　． （2022秋•南关区校级期末）若，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． （2023•西山区校级模拟）已知，，