专题05 二次函数与一元二次方程、不等式-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题05 二次函数与一元二次方程、不等式 目录 题型一： 分式不等式求解 3 题型二： 一元二次不等式求解 4 题型三： 含参一元二次不等式求解 5 题型四： 求一元二次不等式相关系数 7 题型五： 恒成立问题 7 知识点总结 一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 注意 当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别. 分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 4.简单的绝对值不等式 绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． 【常用结论与注意点】 1.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形． 2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论． 3.求解分式不等式时注意正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0. 例题精讲 分式不等式求解 【要点讲解】 且 求不等式的解集： （1）； （2）． 解下列不等式 ． 求下列不等式的解集： ． 解下列不等式． ． 一元二次不等式求解 【要点讲解】求解一元二次不等式的解集问题，需要借助一元 二次方程的根的判别式、韦达定理求出实数解，再结合一元二次函数的图象求得不等式的解集. 解关于的不等式． （1）； （2）； （3）． 求下列不等式的解集 （1）； （2）； （3）． 求下列不等式的解集： （1） （2） 含参一元二次不等式求解 【要点讲解】步骤一：考虑不等式是否为一元二次不等式 步骤二：考虑二次函数开口 步骤三：考虑对应方程是否有根？ 步骤四：比较根的大小关系 已知，解关于的不等式． 若，解关于的不等式． 解关于的不等式． 解下列关于的不等式． （1）； （2）． 关于的不等式 （1）已知不等式的解集为，，，求的值； （2）解关于的不等式． 求一元二次不等式相关系数 【要点讲解】我们首先需结合不等式解集的端点值 和韦达定理，求得不等式的系数，然后将的值代入所求的不等式，解该不等式即可得出结果. 二次不等式的解集为，则的值为　　 A． B．5 C． D．6 关于的不等式，解集为，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 已知一元二次不等式，，的解集为，则的最大值为　　 A． B． C．1 D．2 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为　　 A．4 B． C．2 D．1 恒成立问题 【要点讲解】在解答含参一元二次不等式恒成立问题时，结合 一元二次函数的图象来分析不等式成立的情况，能有效地提升解题的效率. 若恒成立，则实数的取值范围是　 ． “关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是　　 A． B． C． D． 对于任意实数，不等式恒成立，则实数取值范围是　　 A． B．， C． D．， 若关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 　 　． 设． （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 设函数． （1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围； （2）对于，，恒成立，求的取值范围． 课后练习 一．选择题（共8小题） 1．（2022秋•临渭区期末）不等式的解集是　　 A．或 B． C． D． 2．（2023•射洪市模拟）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•朝阳区校级期中）若函数在区间，上是减函数，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．（2022秋•雨花区期末）已知不等式解集为，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2022•杭州模拟）抛物线的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为　　 A． B． C． D． 6．（2022•杭州模拟）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 7．（2023•河南模拟）已知