第21讲 利用导数研究函数的极值和最值-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第21讲 利用导数研究函数的极值和最值 1、函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2、函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3、常用结论 1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． 2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 1、【2022年全国甲卷】当时，函数取得最大值，则（       ） A． B． C． D．1 2、【2022年新高考1卷】（多选）已知函数，则（       ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 3、【2022年全国乙卷】已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 4、【2022年全国甲卷】已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则环． 5、【2022年全国乙卷】已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求a的取值范围． 1. (2022·湖南长郡中学高三月考)已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，则f(x)的极值点的个数为(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2、已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于(　　) A.－4 B.－2 C.4 D.2 3、.函数f(x)＝在[2，＋∞)上的最小值为(　　) A. B.e2 C. D.2e 4、 若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 5、已知函数f(x)＝x－sin x，则f(x)在区间[0，π]上的值域为____________. 考向一　利用导数研究函数的极值 例1、已知函数，求函数的极大值与极小值． 变式1、已知函数f(x)＝x2－1－2a ln x(a≠0)，求函数f(x)的极值． 变式2、已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，且x＝3是f(x)的极值点，求函数f(x)的极值． 变式3、（2022·重庆八中模拟预测）（多选题）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（       ） A．是的最小值点 B．是的极大值点 C．是的极大值点 D．是的极大值点 方法总结：(1)求函数极值的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③解方程，求出函数定义域内的所有根； ④列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值． (2)若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． 考向二 利用导数研究函数的最值 例2、已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值． 变式1、已知函数f(x)＝. (1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值. 变式2、已知函数f(x)＝excos x－x. (1) 求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2) 求函数f(x)在区间上的最大值和最小值． 变式3、设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R).当k∈时，求函数f(x)在区间[0，k]上的最大值M. 方法总结：1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤： (1)求函数在(a，b)内的极值. (2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b). (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，