广东省韶关市广东北江实验中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

广东北江实验学校2022~2023学年第二学期期中考试 高一数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求． 1. 复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，是单位向量，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下面说法中正确的是（ ）. A 若，，且，，则 B. 若，，且，则 C. 若且，则// D. 若，，且//，//，则// 4. 如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是周期为的周期函数 B. 若，则 C. 在区间上增函数 D. 函数在区间上有且仅有1个零点 二．多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 四边形的周长为 C. D. 四边形的面积为 10. 已知复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（ ） A. 复数z的共轭复数的模为1 B. 复数z在复平面内对应的点在第四象限 C. 复数z是方程的解 D. 复数满足，则的最大值为2 11. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，.则下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 12. 如图，在棱长为a的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ） A. 三棱锥体积为定值 B. 异面直线BC与MP所成的最大角为45° C. 不存在点P使得 D. 当点P为中点时，过M、N、P三点的平面截正方体所得截面面积为 三．填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分． 13. 设是虚数单位，若复数()是纯虚数，则________. 14. 已知，则________． 15. 半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1，则该半正多面体外接球的表面积为___________；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为___________. 16. 如图，棱长为2正方体，为底面中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是______． 四．解答题：本题共6个小题，共70分． 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为中点，点在上，平面平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面； 18. 若的图像的最高点都在直线上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为. （1）求和的值； （2）已知是的一个内角，若点是函数图像的一个对称中心，求函数，的值域. 19. 如图，长方体的底面是正方形，E，F分别是，上的点，且，． （1）证明：点F在平面内； （2）若，求三棱锥的体积． 20. 从①，②，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的已知中，并解答. 已知：的内角，，的对边分别为，，，且______. （1）求角； （2）求的取值范围. 21. 如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. （1）求证：平面； （2）已知点在上满足平面，求的值. 22. 在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直（满足），灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且，路灯C采用锥形灯罩，射