冲刺2023年山东省济南中考数学压轴题必刷专题-二次函数面积、最值综合问题

冲刺2023年济南中考数学压轴题必刷专题 二次函数面积、最值综合问题 总分：60分 建议用时：90分钟 1.（12分） 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于点B(－1，0)，点C(4，0)，与y轴交于点A. (1)求二次函数y＝ax2＋bx＋2的表达式； (2)连接AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求点N的坐标； (3)在(2)的结论下，若点Q在第一象限，且tan∠CQN＝2，线段BQ是否存在最值？如果存在请直接写出最值，如果不存在，请说明理由． 2.（12分）如图，抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点的坐标分别是A(1，0)，C(0，－2)，连接AC，BC. (1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式； (2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由； (3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标． 3. （12分）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且． （1）求二次函数的解析式； （2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标； （3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值． 4.（12分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C． （1）求a，b满足的关系式及c的值； （2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值； （3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值． 　　 5.（12分）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）． 冲刺2023年济南中考数学压轴题必刷专题 二次函数面积、最值综合问题（解析版） 总分：60分 建议用时：90分钟 1.（12分） 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于点B(－1，0)，点C(4，0)，与y轴交于点A. (1)求二次函数y＝ax2＋bx＋2的表达式； (2)连接AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求点N的坐标； (3)在(2)的结论下，若点Q在第一象限，且tan∠CQN＝2，线段BQ是否存在最值？如果存在请直接写出最值，如果不存在，请说明理由． 解：(1)将B(－1，0)，C(4，0)代入y＝ax2＋bx＋2， 得解得 ∴二次函数的表达式y＝－x2＋x＋2. (2)如图，过点M作MD⊥BC于点D. 设N(n，0)，MD＝h. ∵MN∥AC，∴△BMN∽△BAC，∴()2＝. ∵AO＝2，S△BAC＝×2×[4－(－1)]＝5，S△BMN＝·MD·BN＝h(n＋1)，∴()2＝，∴h＝. S△AMN＝S△ABN－S△MBN＝BN·AO－BN·h＝(n＋1)(2－)＝－(n－)2＋. ∵－<0，∴当n＝时，S△AMN最大， 此时点N的坐标为(，0)． (3)存在，线段BQ的最小值为. 如图，过点N作NE⊥BC交AC于点E. 则∠CEN＝∠CAO，∴tan ∠CEN＝tan ∠CAO＝2. 以CE为直径，点F为圆心作圆F，可知点Q在⊙F上，∠CQN＝∠CEN，当点B，Q，F三点共线时，BQ最小，此时BQ＝BF－FQ＝－＝. 2.（12分）如