重难点突破02 函数的综合应用（九大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

重难点突破02 函数的综合应用 目录 1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等． 2、函数的图象与性质 分奇、偶两种情况考虑： 比如图（1）函数，图（2）函数 （1）当为奇数时，函数的图象是一个“”型，且在“最中间的点”取最小值； （2）当为偶数时，函数的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值； 若为等差数列的项时，奇数的图象关于直线对称，偶数的图象关于直线对称． 3、若为上的连续单峰函数，且为极值点，则当变化时，的最大值的最小值为，当且仅当时取得． 题型一：函数与数列的综合 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，满足，，设数列的前项和为，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，且，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 变式2．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．数列是递增数列 D． 变式3．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）无穷数列满足：，且对任意的正整数n，均有，则下列说法正确的是（    ） A．数列为严格减数列 B．存在正整数n，使得 C．数列中存在某一项为最大项 D．存在正整数n，使得 题型二：函数与不等式的综合 例4．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式，解集为___________. 例5．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契年~年）以兔子繁殖数量为例，引人数列：，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为__________． 例6．（2023·辽宁·高三校考阶段练习）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的最小值为______________. 变式4．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 题型三：函数中的创新题 例7．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注： (1)求实数，的值； (2)求证：； (3)求不等式的解集，其中． 例8．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． (1)判断函数和是否具有C关系； (2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； (3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 例9．（2023·重庆·高三统考阶段练习）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数. (1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值； ①； ②； ③. (2)求证：，. 变式5．（2023·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点． (1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若