冲刺2023年山东省济南中考数学压轴题必刷专题-二次函数综合问题

冲刺2023年济南中考数学压轴题必刷专题-二次函数综合问题 总分：60分 建议用时：90分钟 1.（12分）二次函数y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的图象经过点A(－4，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP，AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D. (1)求二次函数的表达式； (2)连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式； (3)请判断：是否有最大值，如果有，请求出有最大值时点P的坐标；若没有请说明理由． 2.（12分） 如图1，经过原点O的抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于另一点A(，0)，在第一象限内与直线y＝x交于点B(2，t)． (1)求这条抛物线的表达式； (2)在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标； (3)如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，在(2)的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 　　　 　图1　　　　　　　　图2 3.（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C. (1)b＝________，c＝________； (2)若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标； (3)若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标． 4. （12分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(1，0)，B(3，0)，C(0，6)三点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1∶2的两部分，求点E的坐标； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的一动点，抛物线上是否存在一点P，使以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5.（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2＋bx＋c经过坐标原点和点A，顶点为点M. (1)求抛物线的关系式及点M的坐标； (2)点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标； (3)将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx＋n，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2，0)，连接DM，求证：∠ADM－∠ACM＝45°. 6.（12分）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于点B(－1，0)，点C(4，0)，与y轴交于点A. (1)求二次函数y＝ax2＋bx＋2的表达式； (2)连接AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求点N的坐标； (3)在(2)的结论下，若点Q在第一象限，且tan∠CQN＝2，线段BQ是否存在最值？如果存在请直接写出最值，如果不存在，请说明理由． 冲刺2023年济南中考数学压轴题必刷专题 二次函数综合问题（答案版） 总分：60分 建议用时：90分钟 1.二次函数y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的图象经过点A(－4，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP，AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D. (1)求二次函数的表达式； (2)连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式； (3)请判断：是否有最大值，如果有，请求出有最大值时点P的坐标；若没有请说明理由． 解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的图象经过点 A(－4，0)，B(1，0)， ∴ 解得 ∴二次函数的表达式为y＝－x2－3x＋4.3分 (2)如图，设BP与y轴交于点E， ∵PD∥y轴，∴∠DPB＝∠OEB. ∵∠DPB＝2∠BCO，∴∠OEB＝2∠BCO， ∴∠ECB＝∠EBC，∴BE＝CE. 设OE＝a，则CE＝4－a，∴BE＝4－a. 在Rt△BOE中，由勾股定理得BE2＝OE2＋OB2， ∴(4－a)2＝a2＋12，解得a＝， ∴E(0，).………………………………………………………………4分 设BE所在直线的表达式为y＝kx＋e(k≠0)，将E(0，)， B(1，0)代入得解得 ∴直线BP的表达式为y＝－x＋. (3)有最大值.……………………………………………………………6分 如图，设PD与AC交于点N，过点B作y轴的平行线与AC相交于点M. 设直线AC的表达式为y＝mx＋n(m≠0)． ∵A(－4，0)，C(0，4)， ∴ 解得 ∴直线AC的表达式为y＝x＋