专题六 第二讲 三角形的存在性问题-【优课堂给力A+】2023中考数学抢分策略考点讲解

优课堂稽争A十·中考数学总复习 第二讲三角形的存在性问题 、类型)等腰三角形、直角三角形存在性问题 备考指南 直角三角形的存在性问题，关键要素是“直角”，常常通过勾股定理的逆定理，存在的围的直径所对的圆 周角，两条互相垂直的边所在直线表达式的k之积等于一1等进行判断：等腰三角形的存在性问题，关键要素 是“等腰”，常常从线段的垂直平分线入手。 例1(2021·广汉市模拟)已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6), C(-2,0),tan∠ABO=1,点P是线段AB上方抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的表达式： (2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ (3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D,再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E,连接 DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，说明 理由. 【思路点拨】(1)求出B点坐标，再将点A,C,B的坐标代入y=ax2+bx十c,即可求解；(2)过 点P作x轴的垂线，交线段AB于点D,求出直线AB的表达式，设P点坐标，D点坐标的横坐标 与P点相同，D点在直线AB上，则可表示出D点坐标，然后列出△PAB的面积代数式求解：(3) 分点P在对称轴左侧和右侧两种情况讨论，列出PE=PD的代数式求解. 实战演练 1.(2021·南充)如图，已知抛物线y=ax2+b.x+4(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和B,与y轴交于 点C,对称销为直线x- (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B,C重合），过点P作y轴的平行线交抛 物线于点Q,连接OQ,当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由： (3)如图2，在(2)的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E,且∠DQE= 2∠ODQ.在y轴上是否存在点F,使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标：若不存 在，请说明理由. 图1 图2 ·162· 专题六二次函数与几何的综合 2.(2021·巴中)已知抛物线y=ax2+b.x+c与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点，与y轴交于点 C(0.-3). (1)求抛物线的表达式： (②)点P在直线BC下方的抛物线上，造接AP交BC于点M,当微最大时，求点P的坐标及 影的最大值： (3)在(2)的条件下，过点P作x轴的垂线I,在1上是否存在点D,使△BCD是直角三角形？ 若存在，请直接写出点D的坐标：若不存在，请说明理由. 3.(2021·广安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=一x2+bx十c的图象与坐标轴相交于 A,B,C三点，其中A点坐标为(3,0)，B点坐标为(-1,0)，连接AC,BC.动点P从点A出发， 在线段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动：同时，动点Q从点B出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连 接PQ,设运动时间为t秒. (1)求b,c的值. (2)在P,Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？最小值为多少？ (3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M,使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三 角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 700 ·163· 优课堂稽争A十·中考数学总复习 ·类型②相似三角形存在性问题 备考指南 解答三角形相似的问题时，要具备分类讨论的思想及数形结合的思想，具体如下： (1)分情况讨论，别涂不符合的情况：探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应角、对应边，根 据相似三角形的对应关系，可以确定出三种不同的对应形式，根据题意或实际情况，删除不符合的对应形式： (2)设未知量，求边长：直接或间接设出所求点的坐标，并用所设点的坐标表示出所求三角形的边长： (3)建立关系式，并计算：由相似三角形的性质列出相应的比例式，整理可得一元一次方程或者一元二次方 程，解方程可得字母参数的值，再通过计得出相应的点坐标 圆☑(2021·育坝州)如图1，直线y=一2x+6与抛物线y=a交于A,B两点，与y轴于点 C,其中点A的坐标为(-4,8). (1)求a,b的值. (2)将点A绕点C逆时针旋转90°得到点D. ①试说明点D在抛物线上： ②如图2，将直线AB向下平移，交抛物线于E,F两点（点E在点F的左侧），点G在线段 OC上.若△GEF∽△DBA(点G,E,F分别与点D,B,A对应)，求点G的坐标. 【思路点拨】(1)利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可.(2)①利用全等三角形的性质 求出点D的坐标，可得结论：②设点E,2),求出直线EG,FG的表达式，再根据点G的横坐 标为0，即可解决问题. 0 图9 ·164