重难点专题突破专题11·巩固提升三轮冲刺-【一战成名】 2023陕西中考数学题型题组集训

陕西数学·重难点专题突破　 重 难 点 专 题 突 破 　专题１１　二次函数综合题 编者按：分析陕西近１０年中考考情———二次函数综合题的设问，一般涉及以下四类：与三角 形相似、全等有关、与图形面积有关、与特殊三角形判定和与特殊四边形判定有关，故特设类 型训练． 类型１　与三角形相似、全等有关 １．如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知抛物线 ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ交ｘ轴于点Ａ（１，０）、Ｃ，交ｙ轴 于点Ｂ（０，３）． （１）求该抛物线的表达式； （２）设该抛物线的对称轴与ｘ轴的交点为 Ｄ，点Ｅ在该抛物线的对称轴上，若以点 Ａ、Ｄ、Ｅ所组成的三角形与△ＡＯＢ相似 （相似比不为１），求点Ｅ的坐标． 第１题图 （２）∵ｙ＝ｘ２－４ｘ＋３＝（ｘ－２）２－１， ∴抛物线的对称轴为直线ｘ＝２，∴Ｄ（２，０）， 设Ｅ（２，ｔ），∴ＤＥ＝｜ｔ｜，ＡＤ＝１， ∵Ａ（１，０）、Ｂ（０，３）， ∴ＯＡ＝１，ＯＢ＝３，∴ｔａｎ∠ＯＢＡ＝１３， 当∠ＯＢＡ＝∠ＡＥＤ时，１３＝ ＡＤ ＤＥ＝ １ ｜ｔ｜， 解得ｔ＝３或ｔ＝－３， 当ｔ＝±３时，ＤＥ＝ＯＢ＝３，ＡＤ＝ＯＡ＝１， 综上所述，点Ｅ的坐标为（２，１３）或（２，－ １ ３）． ２．如图，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋４（ａ≠０，ａ，ｂ为常 数）与ｘ轴交于Ａ（－１，０），Ｂ（６，０）两点，与ｙ 轴的正半轴交于点 Ｃ，过点 Ｃ的直线 ｙ＝ －４３ｘ＋４与ｘ轴交于点Ｄ． （１）求抛物线的表达式； （２）若点Ｍ是抛物线上第一象限一动点， 过点Ｍ作ＭＥ⊥ＣＤ于点Ｅ，ＭＦ∥ｘ轴 交直线ＣＤ于点 Ｆ，是否存在点 Ｍ，使 得△ＭＥＦ≌△ＣＯＤ？若存在，请求出 点Ｍ的坐标；若不存在，请说明理由． 第２题图 解：（１）抛物线的表达式为ｙ＝－２３ｘ ２＋１０３ｘ ＋４； （２）存在点Ｍ，使得△ＭＥＦ≌△ＣＯＤ； ∵ＭＥ⊥ＣＤ，∴∠ＭＥＦ＝９０°， ∵ＭＦ∥ｘ轴，∴∠ＭＦＥ＝∠ＣＤＯ， ∵△ＭＥＦ≌△ＣＯＤ，∴ＭＦ＝ＣＤ， ∵ＯＣ＝４，ＯＤ＝３，∴ＣＤ＝５，∴ＦＭ＝５， 设Ｍ（ｍ，－２３ｍ ２＋１０３ｍ＋４）， 则Ｆ（ｍ－５，－２３ｍ ２＋１０３ｍ＋４）， ∵点Ｆ在直线ＣＤ上， ∴－２３ｍ ２＋１０３ｍ＋４＝－ ４ ３（ｍ－５）＋４， ∴ｍ＝２或ｍ＝５， ∴点Ｍ的坐标为（２，８）或（５，４）                                                          ． １４ 陕西数学·重难点专题突破　 重 难 点 专 题 突 破 ３．在平面直角坐标系中，已知抛物线 Ｌ：ｙ＝ ｘ２＋４ｘ＋３与 ｘ轴交于 Ａ，Ｂ两点（点 Ａ在 点Ｂ的左侧），顶点为Ｐ． （１）求点Ａ，Ｂ，Ｐ的坐标； （２）已知抛物线 Ｍ与 ｘ轴的交点为 Ｃ，Ｄ （点Ｃ在点 Ｄ的左侧），其顶点为 Ｑ． 以点 Ａ为位似中心，若△ＣＤＱ与 △ＡＢＰ位似，且位似比为２，求满足条 件的抛物线Ｍ的表达式． 解：（１）Ａ（－３，０），Ｂ（－１，０），Ｐ（－２，－１）； （２）由（１）知 ＡＢ＝２，△ＡＢＰ是等腰直角 三角形． ∵△ＣＤＱ与△ＡＢＰ位似，且位似比为２， Ａ为位似中心， ∴点Ｃ与点Ａ重合，且ＣＤ＝２ＡＢ＝４． 如解图，∵点 Ｃ在点 Ｄ的左侧，∴Ｄ（１， ０）， 由题意可知△ＣＤＱ是等腰直角三角形，Ｑ（－ １，－２）， 设抛物线Ｍ的表达式为 ｙ＝ａ（ｘ＋１）２－ ２，将点Ｄ（１，０）代入解得ａ＝１２， ∴抛物线Ｍ的表达式为ｙ＝１２（ｘ＋１） ２－ ２，即ｙ＝１２ｘ ２＋ｘ－３２． ４．抛物线Ｌ１：ｙ＝ａｘ ２－２ｘ＋ｃ（ａ≠０）与ｘ轴交 于Ａ、Ｂ（３，０）两点，与 ｙ轴交于点 Ｃ（０， －３），顶点为Ｄ．抛物线Ｌ２与Ｌ１关于ｘ轴 对称． （１）求抛物线Ｌ１的函数表达式； （２）已知点Ｅ是抛物线Ｌ２的顶点，点Ｍ是 抛物线Ｌ２上的动点，且位于其对称轴 的右侧，过点Ｍ向其对称轴作垂线交 对称轴于点Ｐ，是否存在这样的点Ｍ， 使得以 Ｐ、Ｍ、Ｅ为顶点的三角形与 △ＢＣＤ相似，若存在，请求出点 Ｍ的 坐标；若不存在，请说明理由． 解：（１）抛物线Ｌ１的函数表达式为 ∵ＣＤ＝槡２，ＢＣ＝３槡２， ∴ＣＤＢＣ＝ 槡２ ３槡２ ＝１３， 设Ｍ（ｍ，－ｍ２＋２ｍ＋３）， ∴ＰＭ＝ｍ－１， ＰＥ＝４－（－ｍ２＋２ｍ＋３）＝ｍ２－２ｍ＋１， ①当ＣＤＢＣ＝ ＰＥ ＰＭ时，△ＭＰＥ∽△ＢＣＤ， ∴ｍ ２－２ｍ＋１ ｍ－１ ＝ １ ３， ∴ｍ＝１（舍去），ｍ＝４３，∴Ｍ（ ４ ３， ３５ ９）； ②当ＣＤＢＣ＝ ＰＭ ＰＥ时，△ＥＰＭ∽△ＢＣＤ， ∴ ｍ－１ ｍ２－２ｍ＋１ ＝１３，∴ｍ＝１（舍去），ｍ＝４， ∴Ｍ（４，－５）． 综上所述，存在点