重难点专题突破专题9·巩固提升三轮冲刺-【一战成名】 2023陕西中考数学题型题组集训

陕西数学·重难点专题突破　 重 难 点 专 题 突 破 　专题９　与圆的切线性质有关的证明与计算 １．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ为⊙Ｏ上一点， ＰＣ切⊙Ｏ于点 Ｃ，ＡＥ⊥ＰＣ交 ＰＣ的延长 线于点 Ｅ，ＡＥ交⊙Ｏ于点 Ｄ，ＰＣ与 ＡＢ的 延长线相交于点Ｐ，连接ＡＣ、ＢＣ． （１）求证：ＡＣ平分∠ＢＡＤ； （２）若ＰＢ∶ＰＣ＝１∶２，ＰＢ＝４，求ＡＢ的长． 第１题图 （１）证明：如解图，连接ＯＣ． ∵ＰＣ是⊙Ｏ的切线，ＯＡ＝ＯＣ， ∴ＯＣ⊥ＥＰ，∠ＡＣＯ＝∠ＯＡＣ， 又∵ＡＥ⊥ＰＣ，∴ＡＥ∥ＯＣ， ∴∠ＥＡＣ＝∠ＡＣＯ， ２．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，以ＡＣ为直径 的⊙Ｏ与 ＢＣ交于点 Ｄ，过点 Ｄ作⊙Ｏ的 切线交ＡＢ于点Ｐ． （１）求证：ＤＰ⊥ＡＢ； （２）若⊙Ｏ的半径为６．５，ＢＣ＝１０，求 ＤＰ 的长． 第２题图 （１）证明：如解图，连接ＡＤ，ＯＤ， ∵ＡＣ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＣ＝９０°，即ＡＤ⊥ＢＣ， ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴点Ｄ是ＢＣ的中点， ∵ＯＡ＝ＯＣ，∴点Ｏ是ＡＣ的中点， ∴ＯＤ是△ＡＢＣ的中位线，∴ＯＤ∥ＡＢ， ∴∠ＡＰＤ＋∠ＯＤＰ＝１８０°， ∵ＤＰ是⊙Ｏ的切线，∴∠ＯＤＰ＝９０°， ３．如图，⊙Ｏ的半径为３，ＭＮ与⊙Ｏ相切于 点Ｎ，ＭＢ交⊙Ｏ于点Ａ、Ｂ，点Ｄ在ＭＢ上， 且ＭＤ＝ＭＮ．连接 ＮＤ并延长交⊙Ｏ于点 Ｅ，连接ＯＥ交ＭＢ于点Ｆ． （１）求证：ＡＦ＝ＢＦ； （２）连接 ＡＮ，若∠ＡＮＤ＝∠ＤＥＦ，ｓｉｎＭ＝ ２ ３，求ＭＤ的长． 第３题图                                                                 ５３ 陕西数学·重难点专题突破　 重 难 点 专 题 突 破 ４．如图，点Ａ，Ｃ在以ＢＤ为直径的⊙Ｏ上，过 点Ａ作 ＡＥ∥ＢＣ，交 ＣＤ的延长线于点 Ｅ， 且∠ＤＡＥ＝∠ＡＢＤ． （１）求证：ＡＥ是⊙Ｏ的切线； （２）若⊙Ｏ的半径为 ５，ＣＤ＝６，求 ＡＤ 的长． 第４题图 （１）证明：如解图，连接ＯＡ， ∵ＯＡ＝ＯＢ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＯＡＢ， ∵∠ＤＡＥ＝∠ＡＢＤ，∴∠ＯＡＢ＝∠ＤＡＥ， ∵ＢＤ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＢＡＤ＝９０°， ∴∠ＯＡＢ＋∠ＯＡＤ＝９０°， ∴∠ＤＡＥ＋∠ＯＡＤ＝９０°， ∴∠ＯＡＥ＝９０°，∴ＯＡ⊥ＡＥ， ∵ＯＡ是⊙Ｏ的半径， ∴ＡＥ是⊙Ｏ的切线； （２）解：如解图，过点Ｏ作ＯＦ⊥ＢＣ于点 Ｆ，则ＢＦ＝ＣＦ，∵ＯＡ⊥ＡＥ，ＡＥ∥ＢＣ， ∴点Ａ、Ｏ、Ｆ在同一条直线上， ∵ＢＤ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＢＣＤ＝９０°， ∴∠ＡＥＤ＝９０°，∴四边形 ＡＥＣＦ是矩 形，∴ＡＦ＝ＥＣ，ＡＥ＝ＦＣ， ∵⊙Ｏ的半径为５，即ＢＤ＝１０，ＣＤ＝６， ∴ＢＣ＝ ＢＤ２－ＣＤ槡 ２＝８， ∴ＢＦ＝ＦＣ＝４，ＯＦ＝１２ＣＤ＝３， ∴ＣＥ＝ＡＦ＝ＡＯ＋ＯＦ＝５＋３＝８， ∴ＤＥ＝ＣＥ－ＣＤ＝８－６＝２， ∵ＡＥ＝ＦＣ＝４，∴ＡＤ＝ ＡＥ２＋ＥＤ槡 ２＝２槡５． ５．如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，Ｃ，Ｄ为⊙Ｏ上不 同于Ａ，Ｂ的两点，过点 Ｃ作⊙Ｏ的切线 ＣＦ交ＡＢ的延长线于点 Ｆ，直线 ＤＢ⊥ＣＦ 于点Ｅ． （１）求证：∠ＡＢＤ＝２∠ＣＡＢ； （２）若ＢＦ＝５，ｓｉｎＦ＝３５，求ＢＤ的长． 第５题图 （１）证明：如解图，连接ＯＣ， ∵ＯＡ＝ＯＣ，∴∠ＣＡＢ＝∠１， ∴∠２＝∠ＣＡＢ＋∠１＝２∠ＣＡＢ， ∵ＣＦ切⊙Ｏ于Ｃ，ＯＣ是⊙Ｏ的半径， ∴ＯＣ⊥ＣＦ，∵ＤＢ⊥ＣＦ，∴ＯＣ∥ＤＢ， ∴∠ＡＢＤ＝∠２，∴∠ＡＢＤ＝２∠ＣＡＢ； （２）解：如解图，连接ＡＤ， ∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＢ＝９０°，即ＡＤ⊥ＤＥ， ∵ＤＥ⊥ＣＦ，∴ＡＤ∥ＣＦ，∴∠３＝∠Ｆ， 在 Ｒｔ△ＢＥＦ中，∠ＢＥＦ＝９０°，ＢＦ＝５， ｓｉｎＦ＝３５， ∴ＢＥ＝ＢＦ·ｓｉｎＦ＝５×３５＝３， ∵ＯＣ∥ＢＥ，∴△ＦＢＥ∽△ＦＯＣ， ∴ＦＢＦＯ＝ ＢＥ ＯＣ， 设⊙Ｏ的半径为ｒ，则 ５５＋ｒ＝ ３ ｒ，解得ｒ＝ １５ ２， 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，∠ＡＤＢ＝９０°， ＡＢ＝２ｒ＝１５，ｓｉｎ∠３＝ｓｉｎＦ＝３５， ∴ＢＤ＝ＡＢ·ｓｉｎ∠３＝１５×３５＝９                                                                     ． ６３ 陕西数学·重难点专题突破　 重 难 点 专 题 突 破 ６．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，以 ＡＢ 为直径的⊙Ｏ交ＡＣ于点Ｄ，