18～21题题组训练一·巩固提升三轮冲刺-【一战成名】 2023河南中考数学题型题组集训

河南数学·题组强化训练　 题 组 强 化 训 练 　１８～２１题题组训练一 （总分：３６分　时间：３０分钟） １８．（９分）２０世纪８０年代，焦作市在焦南竖 起了一尊铜制雕塑，取名“腾飞”（如图 ①）．雕塑是一名骑士驾着一匹腾空而起 的骏马，俗称“铜马”，它是焦作人民开拓 创新、锐意进取，最终必将腾飞的美好象 征．某数学兴趣小组开展了测量“铜马” 高度的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图②，“铜马”ＣＤ垂直于地 面，在地面 Ａ，Ｂ两处分别测得∠ＣＡＤ和 ∠ＣＢＤ的度数．（Ａ，Ｂ，Ｄ在同一直线 上）． 数据收集：通过实地测量，测得 ＡＢ＝５ ｍ，∠ＣＡＤ＝４５°，∠ＣＢＤ＝５８°． 问题解决：求“铜马”ＣＤ的高度．（结果 保留整数．参考数据：ｓｉｎ５８°≈０．８５， ｃｏｓ５８°≈０．５３，ｔａｎ５８°≈１．６０．） 根据上述方案及数据，请你完成求解 过程． 图① 　　 图② 第１８题图 解：在Ｒｔ△ＡＣＤ中，∠Ｄ＝９０°， ∠ＣＡＤ＝４５°， ∴△ＡＣＤ是等腰直角三角形，∴ＡＤ＝ＣＤ， 设ＡＤ＝ＣＤ＝ｘｍ，则ＢＤ＝（ｘ－５）ｍ， 在Ｒｔ△ＣＢＤ中，∠ＣＢＤ＝５８°， ∴ＣＤ＝ＢＤ·ｔａｎ∠ＣＢＤ， ∴ｘ≈１．６０（ｘ－５）， 解得ｘ≈１３（ｍ）， 答：“铜马”ＣＤ的高度约为１３ｍ． １９．（９分）如图，点 Ｐ是反比例函数图象上 一点，直线 ＰＱ交 ｘ轴于点 Ｑ，ＰＭ∥ｘ轴 交ｙ轴于点 Ｍ，且△ＯＰＱ是等腰直角三 角形，△ＯＰＭ的面积为１． （１）求反比例函数的解析式； （２）求点Ｑ的坐标． 第１９题图 解：（１）设反比例函数的解析式为 ｙ＝ｋｘ （ｋ＞０）， ∵△ＯＰＭ的面积为１， ∴１２ｋ＝１，解得ｋ＝２， ∴反比例函数的解析式为ｙ＝２ｘ； （２）设Ｐ（ｍ，ｎ）， ∵点Ｐ在反比例函数图象上， ∴ｎ＝２ｍ，即ｍｎ＝２， ∵△ＯＰＱ是等腰直角三角形， ∴ＯＰ是∠ＭＯＱ的平分线， ∴ｍ＝ｎ， ∴ｍ＝ｎ＝槡２， ∴ＯＰ＝２，则ＯＱ＝２槡２， 即点Ｑ的坐标为（２槡２，０）                                                               ． ７７ 河南数学·题组强化训练　 题 组 强 化 训 练 ２０．（９分）弦切角定理（弦切角等于它所夹 的弧所对的圆周角）在证明角相等、线段 相等、线段成比例等问题时，有非常重要 的作用，为了说明弦切角定理的正确性， 小明同学进行了以下探索过程： 问题的提出：若一直线与圆相交，过交点 作圆的切线，则此切线与直线的交角中 的任意一个称为直线和圆的交角，其中 所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为 优弧的角为优交角．直线和圆的交角有 以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧 所对的圆周角． 问题的证明：（只证明劣交角即可） 请将不完整的已知和求证补充完整，并 写出证明过程； 已知：如图①，直线 ｌ与⊙Ｏ相交于点 Ａ， Ｂ，过点Ｂ作　⊙Ｏ的切线ＤＥ　． 求证：∠ＡＢＤ＝　∠ＡＣＢ　． 第２０题图 解：问题的证明：⊙Ｏ的切线ＤＥ；∠ＡＣＢ． 证明：如解图，连接 ＢＯ并延长交⊙Ｏ点 Ｆ，连接ＡＦ，∴∠ＡＣＢ＝∠Ｆ， ∵ＢＦ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＢＡＦ＝９０°， ∴∠Ｆ＋∠ＡＢＦ＝９０°， ∵ＤＥ是⊙Ｏ的切线，∴∠ＯＢＤ＝９０°， ∴ ∠ＡＢＤ ＋ ∠ＡＢＦ ＝９０°，∴ ∠Ｆ ＝∠ＡＢＤ， ∴∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＢ； ２１．（９分）某公司每月付给销售人员的工资 有两种方案． 方案一：没有底薪，只拿销售提成； 方案二：底薪加销售提成． 设ｘ（件）是销售商品的数量，ｙ（元）是销 售人员的月工资，如图所示，ｌ１为方案一 的函数图象，ｌ２为方案二的函数图象，已 知方案二每件商品的销售提成比方案一 少２０元，根据图中信息解答如下问题 （注：销售提成是指从销售每件商品得到 的销售额中提取一定数量的费用）： （１）求ｌ１的表达式； （２）请问方案二中每月（按３０天计）付给 销售人员的底薪是多少元？ （３）如果你是该公司销售人员，你认为应 该选择哪种薪金方案？ 第２１题图 解：（１）设ｌ１所表示的函数表达式为ｙ１＝ ｋ１ｘ，由图象，得１６００＝３２ｋ１， 解得ｋ１＝５０， ∴ｌ１所表示的函数表达式为ｙ１＝５０ｘ； （２）∵方案二每件商品的销售提成比方 案一少２０元，∴ｙ２＝（５０－２０）ｘ＋ｂ， 把（３２，２４６０）代入，得２４６０＝３０×３２＋ ｂ，解得ｂ＝１５００， ∴方案二中每月付给销售人员的底薪是 １５００元； （３）由（２），得ｙ２的函数表达式为ｙ＝３０ｘ ＋１５００（ｘ≥０）． 当３０ｘ＋１５００＝５０ｘ时，解得ｘ＝７５； 当３０ｘ＋１５００＞５