2023年中考数学考点集训：二次函数综合

二次函数综合 — 考点集训 — > > > 精品解析 < < < 1、(1)，y＝x+3 (2)M的坐标为（﹣1，2） (3)点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，） 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可． 【解析】（1）解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0）， 故点B的坐标为（﹣3，0）， 设抛物线的表达式为y＝＝， 将点C坐标代入上式得：3＝a（﹣3），解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为：； 把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得： ，解得， ∴直线的解析式为y＝x+3； （2）解：设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小． 把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y＝2，故M（﹣1，2）， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）； （3）解：设P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3）， 则＝18，＝＝，， 若点B为直角顶点时，则， 即18+＝， 解得t＝﹣2； 若点C为直角顶点时，则BC2+PC2＝PB2， 即＝18+， 解得t＝4， 若P为直角顶点时，则，则+＝18， 解得t＝， 综上，点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 2、(1) (2)(3,8)或(3,﹣5)或(3,5) (3)当t＝4时，四边形CDBF的最大面积为26，此时E(4,2) 【分析】(1)将点A(﹣2,0)，C(0,4)代入y＝a+x+c中，即可求解； (2)分两种情况讨论：当CD＝CP时，坐标为(3,8)；当CD＝DP时，坐标为(3,﹣5)或(3,5)； (3)求出直线BC的解析式，设E(t,﹣t+4)，则F(t，﹣+t+4)，则，＝10，可求，当t＝4时，四边形CDBF的最大面积为26，此时E(4,2)． （1） 解：将点A(﹣2,0)，C(0,4)代入y＝a+x+c中， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2） 解：存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形， 理由如下： ∵＝， ∴抛物线的对称轴为直线x＝3， ∴D(3,0)， ∵点C坐标为(0,4)， ∴CD＝5， 当CD＝CP时，坐标为(3,8)； 当CD＝DP时，坐标为(3,﹣5)或(3,5)； 综上所述：P点坐标为(3,8)或(3,﹣5)或(3,5)； （3） 解：如图， 令y＝0，则， 解得x＝﹣2或x＝8， ∴B(8，0)， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴y＝﹣x+4， 设E(t，﹣t+4)，则F(t，﹣+t+4)， ∴EF＝﹣+t+4+t﹣4＝﹣+2t， ∴S△BCF＝×8×(﹣+2t)＝﹣+8t， ＝×(8﹣3)×4＝10， ∴， ∴当t＝4时，四边形CDBF的最大面积为26， 此时E(4，2)． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，用分割法求四边形的面积，分类讨论是解题的关键． 3、(1) (2) (3)存在；或或或 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标即可求解； （2）由题意得，求BC的表达式为：；抛物线平移后的表达式为：，根据题意得，即可求解； （3）设，根据平行四边形的性质进行求解即可． （1） 解：由可知， ，解得：， ∴． （2） 分别令中，得，，； 设BC的表达式为：， 将，代入得， 解得：； ∴BC的表达式为：； 抛物线平移后的表达式为：， 根据题意得，，即， ∵该抛物线与直线始终有交点， ∴， ∴， ∴h的最大值为． （3） 存在，理由如下： 将代入中得， ①当DE为平行四边形的一条边时， ∵四边形DEMN是平行四边形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∴设，， 当时，解得：，（舍去）， ∴， 当时，解得：， ∴或； ②当DE为平行四边形的对角线时，设，， ∵D、E的中点坐标为：（2，0）， ∴M、N的中点坐标为：（2，0）， ∴， 解得：，（舍去）， ∴此时点N的坐标为（3，0）； 综上分析可知，点N的坐标为：或或或（3，0）． 【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用、平行四边形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 4、(1) (2) (3)存在， 【分析】（）利用待定系数法将两个已知点坐标代入抛物线方程之后解二元一次方程组即可求出解析式，再利用顶点坐标公式求出抛物线的顶点坐标； （）先将点关于点的对称点的坐标求出来，由与关于点对称可得的开口向下，所以的，