基础夯实练59：抛物线-2024届高三数学一轮复习备考

基础夯实练59 抛物线 1．(2022·桂林模拟)抛物线C：y2＝－x的准线方程为(　　) A．x＝ B．x＝－ C．y＝ D．y＝－ 2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 3．(2023·福州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝－4x D．y2＝－8x 4．(2022·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于(　　) A．3 B．4 C. D. 5．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m,2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　) A．p＝4 B．抛物线方程为y2＝16x C．直线l的方程为y＝2x－4 D．|AB|＝10 6．(多选)(2022·金陵模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点F是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，点A，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则下列结论正确的是(　　) A．C的准线方程为x＝ B．b＝ C.·＝2 D.＋＝ 7. 如图是抛物线形拱桥，当水面为l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米． 8．(2021·北京)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________. 9．过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程． 10．已知在抛物线C：x2＝2py(p>0)的第一象限的点P(x,1)到其焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程和点P的坐标； (2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长． 11．(多选)(2023·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则下列结论正确的是(　　) A．y1y2＝－1 B．|AB|＝ C．PB平分∠ABQ D．延长AO交直线x＝－于点C，则C，B，Q三点共线 12．(2022·阜宁模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，MH⊥l于H，若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为________． 13．(2023·泰州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点A(1,0)，B(9,6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则|AQ|等于(　　) A．4 B．2 C. D. 14．(2022·无锡模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线C上的两个动点，且AF⊥AB，∠ABF＝30°，设线段AB的中点M在准线l上的射影为点N，则的值是________． 参考答案 1．A　2.D　3.D　4.B 5．ACD　[由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确； 则抛物线的方程为y2＝8x， 焦点F(2,0)，故B错误； 则y＝8x1，y＝8x2， 若M(m,2)是线段AB的中点， 则y1＋y2＝4，∴y－y＝8x1－8x2， 即＝＝＝2， ∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确； 又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4， 得x1＋x2＝6， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确．] 6．BD　[点A(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C上， 则解得 则抛物线C：y2＝x，A， B(，)， 抛物线C的准线方程为x＝－， 故A错误，B正确； ·＝×＋1×＝1＋，故C错误； 抛物线C的焦点F， 则|AF|＝＝， |BF|＝ ＝， 则＋＝＋＝，故D正确．] 7．2　8.5　4 9．解　(1)抛物线C：x2＝2py(p>