03 基本初等函数及其应用专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习

目录 专题03 基本初等函数及其应用 2 一、基本初等函数 2 课前诊断 2 【教学目标】 3 【知识框架】 3 【知识要点】 3 【考点分类】 7 考点一：指数函数的概念及其性质 7 考点二：对数函数的性质 10 考点三：对数函数的图像 12 考点四：指数函数与对数函数的关系 14 二 函数实际应用与综合应用 15 【教学目标】 15 【知识框架】 15 【知识要点】 15 【考点分类】 16 考点一：函数的实际应用 16 考点二、函数的性质及综合应用 19 小试牛刀 21 巩固练习 22 专题03 基本初等函数及其应用 一、基本初等函数 课前诊断 1.若则a的取值范围是( ) （A） （B） （C）∪ （D）∪ 2.若且，则函数的图像必过定点 ．【答案】 3.已知（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）判别并证明函数的单调性。 答案： 函数值随着x的变大而变大因此函数在定义域内内调递增 4. 方程的解是______________ 5. 若，则（） A B C D 6.为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（） A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度wwwks5ucom B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 7.函数的值域为__________ 【教学目标】 1. 熟练掌握整指数幂的运算法则； 2. 掌握分数指数幂及其运算； 3.掌握指数函数的概念及其性质； 4. 理解对数的概念； 5. 掌握对数的运算法则； 6. 通过具体实例，理解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念； 7. 体会对数函数是一种重要的函数模型，并会根据图像研究对数函数的性质； 8. 熟练应用换底公式； 【知识框架】 【知识要点】 1.次方根 类比平方根和立方根，我们定义的次方根． 【定义1】如果存在实数，使得，则称为的次方根．求的次方根叫做把开次方，称作开方运算． 当为偶数时，在实数范围内，负数没有偶次方根， 正数的次方根有两个，记为； 当为奇数时，在实数范围内，的次方根有一个，记为，显然，与同号． 【定义2】次算术根：正数的正次方根．0的次算数根是0． 注：只表示一个数，我们把叫做根式，叫做根指数． 【性质】 （1） （2） 2.分数指数幂 这样一来，我们可以类似得到，前提，有意义． 为避免讨论，约定底数，那么 同样， 这样，整数指数幂就推广到有理数指数幂，运算法则只需三条，其中为任意有理数； 3.无理数指数幂 有理数指数幂还可推广到无理数指数幂，但是现在不能给出严格的定义，在时，实数指数幂的运算法则不变． 【注】对于指数幂的运算结果，不要求统一形式的表示，没有特殊要求，一般可以用分数指数幂的形式不变，如果有特殊要求，可根据要求表示．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 4.指数函数的概念 形如的函数称为指数函数. 函数的图像如下： 1 恒过点 ； 2 函数的定义域为R； 3 函数的值域为； 4 当时函数为减函数，当时函数为增函数． 5.对数概念 在等式中，如果求，是指幂运算，那如果求呢？比如， 【定义】若，则，读作：以为底的对数。 其中，叫做真数，叫做底数。 特殊地，常用对数：叫作；自然对数：记作： 注：叫做对数式，和叫做根式一个意思。求对数是一种运算！ 根据定义，我们能得到两个恒等式： （1）=； （2）=； 【强调】因为我们将指数幂中的指数推广到了有理数、实数，为了避免讨论，特别约定：底数大于.那么，在中，也必须大于，即真数必须为正，负数和没有对数！此外，若底数没有价值，因此，还特别约定：底数，且. 【换底公式】（且） 6.对数运算 7.对数函数的定义函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是 8.对数函数的图像：所示，左图为时对数函数的大致图像，右图为时对数函数的大致图像. *注：底数互为倒数的两个对数函数图像关于轴对称 9.对数函数的性质 定义域： 值域：R 单调性：当时，函数在上为增函数；当时，函数在上为减函数 奇偶性：非奇非偶函数 值变性：①当时，时，，函数值为正，时，函数值为负； ②当时，时，函数值为负，时， ，函数值为正 函数过定点 自然对数：通常将以无理数e为底数的对数叫做自然对数，记为，并简记为，其中无理数e=2.71828…… 通常将以10为底的对数函数表示为 10.反函数：指数函数与对数函数互为反函数，并且它们的图像关于对称. 【考点分类】 考点一：指数函数的概念及其性质 【例1】★求下列指数函数的定义域、值域. （1） ； （2）； （3） 【例