专题14 点线式秒杀函数压轴题03（平行四边形的存在性）-2023年中考数学经典几何模型高分突破（全国通用）

专题14 点线式秒杀函数压轴题03 （平行四边形的存在性） 二次函数与平行四边形的存在性的融合，是中考数学的经典的压轴大题的重要分支之一，图形的存在性，也有专门的套路，只要用好点线式，存在性问题即可秒解。 一、函数动点题的钥匙：点线式，三步曲。 点：（即所用到的点的坐标）， 线：用点的坐标表示出：两点间距离，图像函数表达式，中点的坐标等。 式：分情况列出函数关系式或方程。 平行四边形的存在性 法一：中点公式法 黄金公式五：中点公式，和的一半 法二：平移大法—距离相等得方程。（先画图，定方向）。 ( 典例分析 ) 如图，抛物线ybx+c与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B（6，0），C（0，﹣6）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值； （3）在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 解题思路：（1）把B（6，0），C（0，﹣6）代入ybx+c，用待定系数法可得该抛物线的函数表达式为y2x﹣6； （2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，由B（6，0），C（0，﹣6）可得直线BC解析式为y＝x﹣6，根据P（m，m2﹣2m﹣6），Q（m，m﹣6），得PQm2+3m，即得S△PBCPQ•|xB﹣xC|（m2+3m）×6（m﹣3）2，由二次函数性质得当m取3时，△PBC的面积最大，△PBC面积的最大值是； （3）由（2）知，m＝3，P（3，），由2x﹣6＝0可得A（﹣2，0），设M（2，p），N（q，q2﹣2q﹣6），点分三种情况：①若PA，MN为对角线，则PA，MN的中点重合，有（线式）即中点重合，可得N（﹣1，），②若PM，AN为对角线，同理可得N（7，），③若PN，AM为对角线，同理可得N（﹣3，3）． 答案详解：解：（1）把B（6，0），C（0，﹣6）代入ybx+c得： ， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为y2x﹣6； （2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，如图： 由B（6，0），C（0，﹣6）可得直线BC解析式为y＝x﹣6， ∵nm2﹣2m﹣6， ∴P（m，m2﹣2m﹣6），则Q（m，m﹣6），（点） ∴PQ＝（m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣6）m2+3m，（线） ∴S△PBCPQ•|xB﹣xC|（m2+3m）×6m2+9m（m﹣3）2，（式） ∵0， ∴m＝3时，S△PBC取最大值，最大值为， ∴当m＝3时，△PBC的面积最大，△PBC面积的最大值是； （3）由（2）知，m＝3，P（3，）， 由2x﹣6＝0得x1＝﹣2，x2＝6， ∴A（﹣2，0），点 抛物线y2x﹣6的对称轴是直线x2， 设M（2，p），N（q，q2﹣2q﹣6），点 1 若PA，MN为对角线，则PA，MN的中点重合， ∴，（线式）即中点重合 解得， ∴N（﹣1，）， ②若PM，AN为对角线，同理可得， ∴N（7，）， ③若PN，AM为对角线，同理可得， ∴N（﹣3，3）， 综上所述，点N的坐标为（﹣1，）或（7，）或（﹣3，3）． ( 实战训练 ) 1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点B（3，0）和点C（0，3），抛物线y＝﹣x2+bx+c恰好经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P在第一象限，连接OP，交直线BC于点D，且，求点P的坐标； （3）如图2，抛物线的顶点为M，抛物线的对称轴交直线BC于点N，Q是直线BC上一动点．是否存在以点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0），点C的坐标为为（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若点D是x轴上的一点，在抛物线上是否存在点E，使以A、C、D、E为顶点且以AC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点M为抛物线上第一象限内一动点，连接OM，交BC于点N，当最大时，求点M的坐标； （3）如图2，点P为抛物线上一点，且在x轴上方，一次函数过点A，点Q是一次函数图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标