专题15 点线式秒杀函数压轴题04（矩形、菱形、正方形的存在性）-2023年中考数学经典几何模型高分突破（全国通用）

专题15 点线式秒杀函数压轴题04 （矩形、菱形、正方形的存在性） 二次函数特殊图形的存在性，是都是中考数学的压轴大题之一。本专题精选中考真题中的矩形、菱形、正方形的存在性试题，详细解答，为你解决此类问题提供解题思路，为你的中考助力。 一、必会函数动点题的钥匙：点线式，三步曲。 点：（即所用到的点的坐标）， 线：用点的坐标表示出：两点间距离，图像函数表达式，中点的坐标等。 式：分情况列出函数关系式或方程。 二、解题思路要清晰，熟能生巧要牢记。 1.矩形解题思路（一般先画图）： 法一：借助直角三角形，改斜归正，借助三角函数或一线三角证明相似，再利用距离公式，可得方程，从而求解。 法二：先证明是平行四边形，再借助垂直公式，证明是矩形。 2.菱形解题思路（一般先画图）： 法一：先证明平行四边形，再利用距离公式，证明邻边相等，与证等腰三角形相同。 法二：改斜归正，证明全等，借助三大距离公式即可完成。 3.正方形解题思路(精准作图)： 法一：改斜归正，可得全等，利用三大距离公式，即可得到方程，求解即可。 法二：正方形是最特殊的四边形，画图后，借且关键点，也可以求解。 三、黄金八大公式，必须完全掌握，并能灵活运用。 本专题用到的黄金公式有：三大距离公式（详见专题12），平行公式，垂直公式，斜率公式。 平行公式 垂直公式 斜率公式 ( 实战训练 ) 一．矩形的存在性 1．已知抛物线L：y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为点A（﹣1，0），与y轴交于点B． （1）求抛物线L的函数表达式； （2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，在x轴上是否存在一点M，在抛物线L'上是否存在一点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是以AB为边的矩形？若存在，请求出平移方式；若不存在，请说明理由． 2．如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h； （3）如图2，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CO的对称 点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，求出满足条件的点Q的坐标． ​ 3．如图，一次函数yx+a的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（4，3），与y轴交于点B． （1）求a，k的值； （2）点C在反比例函数图象上，直线CA与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB，求△ABC的面积； （3）点E在x轴上，点F是坐标系内一点，当四边形AEBF为矩形时，求点E的坐标． 4．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A（m，3）、B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为16，求直线向上平移的距离； （3）E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），四边形OABC为平行四边形，反比例函数（x＞0）的图象经过点C，与边AB交于点D．若OC＝2，tan∠AOC＝1． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P（a，0）是一动点，求|PC﹣PD|最大时a的值； （3）连接CA，在反比例函数图象上是否存在点M，平面内是否存在点N， 使得四边形CAMN为矩形？若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m，试求m的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线与坐标轴相交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；DG交直线AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求ED的最大值； （3）过点B的直线y＝﹣2x+8交y轴于点C，交直线DG于点F，H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OC在x轴上，点C