同构法在解析几何中的运用 专题讲义-2023届高三数学三轮冲刺复习备考

同构法在解析几何中的运用 邹炎平 程光旭 阳爱国 摘要：同构的关键在于发现代数式子结构的相似性，它在处理数据中有着很巧妙的作用，常见的同构往往涉及到导数中的指对数同构；其实，同构思想在解析几何中往往体现的更为奇妙，它完美的实现了数与行的结合，更有助于帮助学生优化计算，巧妙而快速的得出结果，对于数学核心素养的提升具有重要作用。因此，本文在介绍同构原理与方式的基础上，结合两道具体试题，来研究同构思想在解析几何中的具体应用。 一：同构原理与方式 设和分别满足：；，从而可知和是一元二次方程的两解。 设两点同时满足，，可知两点在直线上。 二：同构在解析几何中运用 例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点为 离心率为，过右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若,求的值。 分析：具有相同的结构，能否巧妙的利用这一条件？ 根据题目条件可以求出椭圆方程C：，以及过点焦点的直线方程，如下图所示： 具体解答过程如下： 方法一：利用传统方法，将直线与椭圆联立 方法二：不联立直线方程，同构出关于的一元二次方程，通过韦达定理直接得出 通过比较在方法一中，联立直线方程后，将的和转化成了两点横坐标的式子：，这就将求的值间接变成了就关于的式子。然而，在方法二中，在求的值时，根据题目条件：，此式子具有相同的结构，根据已知条件变形后，可以得到的两个式子，将其同构后，可以得到是方程的两解，根据韦达定理可以直接得出. 例2（2021年乙卷理科）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为4.若点在上，是的两条切线，是切点，求面积最大值。 方法一： 方法二： 通过方法一和方法二，方法一是运用传统方法，设出直线，联立直线与 抛物线方程，结合弦长公式，点到直线之间的距离，表示出的面积，而方法二，通过同构出两点满足的两解，结合韦达定理，发现的中点和点在同一竖直线上，因此的面积可以表示成以为底，以为高，计算出。通过比较发现方法二能优化计算，准确而快速得出结果。 三：同构思想在解析几何中的三种类型 参数同构 斜率同构 切线同构 同构法是处理解析几何对称问题的有力武器．同构思想的介入，使得解析几何中对称问题、切线问题、平行线截线段成比例问题等，结构相同或相似问题的求解过程变得简单明了． 结合近几年高考试题和武汉二调、四调试题，发现同构思想解圆锥曲线问题，发现同构法能优化计算，能直接得出所求结果，比起以往 联立直线与曲线方程的计算量大，甚至很难得结果。并结合两道试题，通过对比，并在理解同构解题的本质基础上，当题目中出现具有相同结构、相同式子时，或过某一点处的切线等相似结构时，采用同构法能优化计算，直接得出所求结果。 [1] 林志敏黄婉真. 浅谈同构在解析几何中的应用[J]. 数学之友, 2022, 36(18):78-79. [2] 刘群. 同构思维在解析几何中的"妙用"[J]. 高中数理化, 2021(4):2. [3] 陈建中. 同构思想在解析几何中的应用[J]. 山东教育, 2022(39):52-54. [4] 金一鸣, 常梨君. 形相似 式同构——"同构思想"在解析几何中的应用[J]. 中学数学教学参考, 2022(25):39-41. [5] 常梨君金一鸣. "形"中挖"同""数"中寻"构"--记"同构思想"在解析几何中的应用[J]. 中学数学月刊, 2022(11):69-72. [6] [1]金一鸣, 常梨君. 形相似 式同构——"同构思想"在解析几何中的应用[J]. 中学数学教学参考, 2022(25):39-41. 学科网（北京）股份有限公司 $