专题29 平面向量的最值范围及“四心”问题-2024年新高考数学一轮考点题型精准复习（讲义+ppt）（新高考专用）

专题29 平面向量的最值范围及“四心”问题 考点一 基底法求最值范围 考点二 坐标法求最值范围 考点三 利用几何意义求最值范围 考点四 内心问题 考点五 外心问题 考点六 垂心问题 考点七 重心问题 一．平面向量范围与最值问题常用方法： 1.基底法 ①利用其底转化向量;②根据向量运算律化简目标 ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 2.坐标法 ①根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标;②将平面向量的运算坐标化; ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3.几何意义法 ①先确定向量所表达的点的轨迹;②根据直线与曲线位置关系列式 ③解得结果 二、平面向量的“四心”问题 1.内心:三角形的内心在向量所在的直线上， 为的内心. 2.外心:为的外心. 3.垂心:为的垂心. 4.重心:为的重心. 考点一 基底法求最值范围 例1．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期中）如图，在菱形ABCD中，，，E，F分别在边BC和CD上，且，. (1)当时，用向量，表示； (2)求的取值范围. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）利用向量的线性运算直接求得； （2）利用向量的运算得到，利用单调性求出取值范围. 【详解】（1）根据题意，由向量的线性运算可知， 当时，. （2）因为，， 由向量的线性运算，可得. 因为， 所以 ， 因为，所以 例2．（2023春·陕西西安·高三长安一中校考期中）点M在边长为4的正△ABC内（包括边界），满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得的取值范围，利用向量数量积的运算求得的取值范围. 【详解】 分别是的中点，则， 由于在三角形内（包括边界），且， 所以点的轨迹是，所以. . 故选：B    例3．（2023春·山东枣庄·高二统考期中）已知是边长为2的等边三角形，D为边的中点，E为边上任一点（包括端点），F在线段延长线上，且． (1)当最小时，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 设，把转化为，由求出，从而可知当时，最小，把转化为用表示，再把代入即可求出的值； （2）把 转化为用表示，化简为只含变量的二次函数，用二次函数求最值的方法即可求得的取值范围． 【详解】（1）如图， 设 因为，所以 当时，最小， 此时. （2）由（1）知，故， 因为 ， 因为，所以. 例4．（2022春·高三单元测试）矩形中，，上一点，求的最小值（     ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】B 【分析】设，将分别用表示，再根据数量积的运算律结合二次函数的性质即可得解. 【详解】设，则， ， 则 ， 所以当，即是的中点时，的最小值为15. 故选：B. 例5．（2023春·广东深圳·高三校考期中）平面四边形是边长为4的菱形，且．点N是DC边上的点，满足．点M是四边形内或边界上的一个动点，则的最大值为（    ） A．13 B．7 C．14 D． 【答案】C 【分析】当在点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，所以此时最大，由，，求可得答案. 【详解】如图， 由数量积的几何意义：两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积，及点M是四边形内或边界上的一个动点，则当在点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，所以此时最大， 因为， 又， 所以 ， 所以的最大值为. 故选：C. 考点二 坐标法求最值范围 例6．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意点（包含端点），则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】以点A为坐标原点，，的方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，写出对应点的坐标，设，根据平面向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】以点A为坐标原点，，的方向为x轴，y轴正方向，建立平面直角坐标系， 则，，，设， 所以，，则， 因为，所以，即的最大值为． 故答案为：． 例7．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，.若为线段中点，则______；若为线段（含端点）上的动点，则的最小值为______.    【答案】 /5.25 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，结合平面向量的数量积公式和二次函数的性质即可求出. 【详解】因为，，所以为等边三角形， 因为，，所以在和中，，， 则，得，， 因为在中，，则，得，又，所以， 以为原点，以 所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，，，，， 则； 设，，， 则